1244
Chapitre X. Stabilisation spectrale
ne dépend que de l’image de g ,V dans le groupe fini
H := G (F V )/G(F V )(G (F )K
V
∩ G(F V )).
On la note ξ(g ,V ) tr
g ,V π
˜
G
disc,ν (c
V ). Et on définit la distribution
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ) := |H|
−1
g ,V ∈H
ξ(g ,V ) tr
g ,V π
˜
G
disc,ν (c
V ).
Théorème. Avec ξ et V satisfaisant les hypothèses précédentes, c’est-à-dire que V
est suffisamment grand et ξ est non ramifié hors de V , on a pour tout élément
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) =
G ;ω G
=ξ
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st (c
V )(f
G
V 1 ˜
K V
G
),
où l’on a regroupé dans le terme de droite la somme sur les ν
et les c
V de X.8.
La preuve est élémentaire :
le terme de gauche est la valeur de tr π
˜
G
disc,ν (f
ξ
V 1 ˜
K V ) où la fonction f
ξ vaut,
après un choix de représentant de H dans G (F V )
f
ξ
V = |H|
−1
g ,V
ξ(g ,V )
g ,V f V .
On applique la stabilisation spectrale à cette fonction, on obtient un analogue du
terme de droite en généralisant simplement le (i) de X.6.1 où la somme porte sur
les données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V et dont le caractère
associé de G (A F ) coïncide avec ξ sur G (F V ). Mais comme V est suffisamment
grand cela force l’égalité de ce caractère avec ξ.
X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu
On va donner l’exemple de GL(n) tordu par l’automorphisme g →
t g
−1 .
Dans ce cas, π
˜
G
disc,ν (c
V ) est une représentation irréductible. Le groupe G vaut
GL(n)/{±1}. Soit v une place de F et z un élément du centre de GL(n, F v ). On
note E l’extension au plus quadratique de F v tel que z y admette une racine carré,
notée z
1/2 . L’image de z
1/2 dans G (E) est en fait dans G (F v ). Et on vérifie aisément que G (F v ) est engendré par l’image de GL(n, F v ) et par ces éléments.
Pour un caractère quadratique μ du centre de GL(n, F v ) et un caractère ξ de
G (F v ) trivial sur GL(n, F v ), on dit que ξ et μ se correspondent si et seulement si
ξ(z
1/2 ) = μ(z) pour tout élément z du centre de GL(n, F v ). Pour des caractères
automorphes μ du centre de GL(n, A F ) et ξ de G (A F ) vérifiant les mêmes conditions, on dit qu’ils se correspondent si leurs composantes locales se correspondent
en toute place. On note ξ μ cette correspondance.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
ne dépend que de l’image de g ,V dans le groupe fini
H := G (F V )/G(F V )(G (F )K
V
∩ G(F V )).
On la note ξ(g ,V ) tr
g ,V π
˜
G
disc,ν (c
V ). Et on définit la distribution
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ) := |H|
−1
g ,V ∈H
ξ(g ,V ) tr
g ,V π
˜
G
disc,ν (c
V ).
Théorème. Avec ξ et V satisfaisant les hypothèses précédentes, c’est-à-dire que V
est suffisamment grand et ξ est non ramifié hors de V , on a pour tout élément
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) =
G ;ω G
=ξ
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st (c
V )(f
G
V 1 ˜
K V
G
),
où l’on a regroupé dans le terme de droite la somme sur les ν
et les c
V de X.8.
La preuve est élémentaire :
le terme de gauche est la valeur de tr π
˜
G
disc,ν (f
ξ
V 1 ˜
K V ) où la fonction f
ξ vaut,
après un choix de représentant de H dans G (F V )
f
ξ
V = |H|
−1
g ,V
ξ(g ,V )
g ,V f V .
On applique la stabilisation spectrale à cette fonction, on obtient un analogue du
terme de droite en généralisant simplement le (i) de X.6.1 où la somme porte sur
les données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V et dont le caractère
associé de G (A F ) coïncide avec ξ sur G (F V ). Mais comme V est suffisamment
grand cela force l’égalité de ce caractère avec ξ.
X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu
On va donner l’exemple de GL(n) tordu par l’automorphisme g →
t g
−1 .
Dans ce cas, π
˜
G
disc,ν (c
V ) est une représentation irréductible. Le groupe G vaut
GL(n)/{±1}. Soit v une place de F et z un élément du centre de GL(n, F v ). On
note E l’extension au plus quadratique de F v tel que z y admette une racine carré,
notée z
1/2 . L’image de z
1/2 dans G (E) est en fait dans G (F v ). Et on vérifie aisément que G (F v ) est engendré par l’image de GL(n, F v ) et par ces éléments.
Pour un caractère quadratique μ du centre de GL(n, F v ) et un caractère ξ de
G (F v ) trivial sur GL(n, F v ), on dit que ξ et μ se correspondent si et seulement si
ξ(z
1/2 ) = μ(z) pour tout élément z du centre de GL(n, F v ). Pour des caractères
automorphes μ du centre de GL(n, A F ) et ξ de G (A F ) vérifiant les mêmes conditions, on dit qu’ils se correspondent si leurs composantes locales se correspondent
en toute place. On note ξ μ cette correspondance.