X.8. Stabilisation de la formule des traces
1243
données endoscopiques en la place v 0 on a aussi le caractère ξ(v 0 ) et donc, avec
X.6.1 (1
ξ(v0)
˜
Kv 0
)
G
= (1 ˜
Kv 0
)
G
c’est-à-dire la fonction caractéristique de ˜
K
G
v0 . D’où
l’égalité. On a l’égalité du terme de droite de (6) avec le terme de droite de (7)
puisque la composante elliptique de 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
est nulle. D’où
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
).
On a aussi
(8)
ξ∈C(V )
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
)
=
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st (f
G
V 1 ˜
K V
G
).
En effet, f V =
ξ (V ) f
ξ
(V )
V
où cette fois les ξ
(V ) parcourt tous les caractères de G (F V )/G(F V ). Mais pour une donnée endoscopique elliptique G
fixée,
tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ
(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
) = 0 si ξ
(V ) n’est pas la restriction de ω
G
à G (F V )
dont si ξ
(V ) n’est pas de la forme ξ(V ) avec ξ ∈ C(V ). D’où (8). Puisque le terme
de droite de (6) vaut le terme de gauche de (8), on obtient l’égalité du terme de
gauche de (6) avec le terme de droite de (8) ce qui est (4) et termine la preuve
dans le cas tordu comme dans le cas non tordu.
X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation
On généralise un peu les constructions de X.6.1 pour inclure le cas où ω n’est pas
trivial. On ne s’intéresse qu’au cas global. On fixe ξ un caractère automorphe de
G (A F ). On suppose que la restriction de ξ à l’image de G(A F ) est ω. On fixe V
un ensemble de places de F (contenant V ram ) tel que
G (A F ) = G (F )G (F V )K
V
,
où K
V
est un compact maximal hyperspecial hors de V . On reprend la notation π
˜
G
disc,ν (c
V ) des paragraphes précédents. On peut définir la distribution sur
I( ˜
G(F V ), ω),
f V → tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ).
Soit g ,V ∈ G (F V ), cet élément agit par conjugaison sur I( ˜
G(F V ), ω) et donc
sur la distribution. On suppose en plus que g ,V ∈ (G (F )K
V
∩ G(F V )). Un tel
élément laisse invariante cette distribution. Et si g ,V est dans l’image de G(F V ),
l’action se fait via le caractère ω
−1 . On suppose que le caractère ξ est non ramifié
hors de V . La distribution
f V → ξ(g ,V ) tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(
g ,V f V 1 ˜
K V )
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données endoscopiques en la place v 0 on a aussi le caractère ξ(v 0 ) et donc, avec
X.6.1 (1
ξ(v0)
˜
Kv 0
)
G
= (1 ˜
Kv 0
)
G
c’est-à-dire la fonction caractéristique de ˜
K
G
v0 . D’où
l’égalité. On a l’égalité du terme de droite de (6) avec le terme de droite de (7)
puisque la composante elliptique de 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
est nulle. D’où
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
).
On a aussi
(8)
ξ∈C(V )
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
)
=
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st (f
G
V 1 ˜
K V
G
).
En effet, f V =
ξ (V ) f
ξ
(V )
V
où cette fois les ξ
(V ) parcourt tous les caractères de G (F V )/G(F V ). Mais pour une donnée endoscopique elliptique G
fixée,
tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ
(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
) = 0 si ξ
(V ) n’est pas la restriction de ω
G
à G (F V )
dont si ξ
(V ) n’est pas de la forme ξ(V ) avec ξ ∈ C(V ). D’où (8). Puisque le terme
de droite de (6) vaut le terme de gauche de (8), on obtient l’égalité du terme de
gauche de (6) avec le terme de droite de (8) ce qui est (4) et termine la preuve
dans le cas tordu comme dans le cas non tordu.
X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation
On généralise un peu les constructions de X.6.1 pour inclure le cas où ω n’est pas
trivial. On ne s’intéresse qu’au cas global. On fixe ξ un caractère automorphe de
G (A F ). On suppose que la restriction de ξ à l’image de G(A F ) est ω. On fixe V
un ensemble de places de F (contenant V ram ) tel que
G (A F ) = G (F )G (F V )K
V
,
où K
V
est un compact maximal hyperspecial hors de V . On reprend la notation π
˜
G
disc,ν (c
V ) des paragraphes précédents. On peut définir la distribution sur
I( ˜
G(F V ), ω),
f V → tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ).
Soit g ,V ∈ G (F V ), cet élément agit par conjugaison sur I( ˜
G(F V ), ω) et donc
sur la distribution. On suppose en plus que g ,V ∈ (G (F )K
V
∩ G(F V )). Un tel
élément laisse invariante cette distribution. Et si g ,V est dans l’image de G(F V ),
l’action se fait via le caractère ω
−1 . On suppose que le caractère ξ est non ramifié
hors de V . La distribution
f V → ξ(g ,V ) tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(
g ,V f V 1 ˜
K V )