1242
Chapitre X. Stabilisation spectrale
nulle ; pour nous il suffit de l’avoir pour les fonctions f v0 dans l’algèbre de Hecke
sphérique.
Malheureusement, il n’est pas vrai en toute généralité que de telles fonctions
ont leur composante elliptique nulle. Comme ce bug apparaît déjà dans la stabilisation de la formule des traces non tordue, on explique ici comment faire fonctionner
cette preuve dans le cas tordu et dans le cas non tordu. Dans le cas non tordu les
éléments exceptionnels sont les produits d’éléments centraux et d’éléments unipotents et il y en a dans tous les cas (mais ils ne posent pas de problème si G est
un tore) et dans le cas tordu, il n’y en a que si ω = 1 et G vérifie les hypothèses
du (iii) de X.6.1 (pas tout à fait, le groupe n’est déployé qu’à une restriction des
scalaires près, opération insignifiante).
On reprend les notations de X.6.3, en particulier π
V
disc,ν et on suppose que V
est suffisamment grand pour que le (1) de X.6.3 soit vérifié. On veut montrer que
(4)
tr π
V
disc,ν (f V 1 ˜
K V ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st (f
G
V 1 ˜
K V
G
).
On reprend la notation C(V ) de X.6.3 et pour ξ ∈ C(V ) on note ξ(V ) la restriction
de ξ à G (F V ) et pour tout v 0 /
∈ V on note ξ(v 0 ) la restriction de ξ à G (F v0 ).
On garde aussi les notations f
ξ(V )
V
de X.6.3. Le côté gauche de (4) est, d’après la
proposition de X.6.3
(5)
tr π
V
disc,ν (f V 1 ˜
K V ) =
ξ∈C(V )
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ).
Fixons ξ ∈ C(V ) et avec X.6.3 fixons v 0 tel que ξ(v 0 ) = 1. On sait alors (cf. X.6.2)
que 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
a sa composante elliptique nulle. D’après la proposition 6.3, on a :
(6)
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ) = tr π
V ∪{v0}
disc,ν (f
ξ(V )
V
1
ξ(v0)
˜
Kv 0
1 ˜
K V ∪{v 0 } )
et on va pouvoir appliquer la stabilisation grâce à la propriété de 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
. Il faut
d’abord remarquer que
(7)
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
)
=
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V ∪{v0}
ν,st
((f
ξ(V )
V
)
G
(1
ξ(v0)
˜
Kv 0
)
G
1 ˜
K
V ∪{v 0 }
G
).
En effet le membre de gauche de (7) ne voit que les G
tel que le caractère ω
G
soit dans C(V ) : le caractère doit être non ramifié hors de V car les données
endoscopiques le sont et il doit être trivial sur l’image de G(A F ). De plus comme
la fonction qui intervient est le transfert de f
ξ(V )
V
, ce terme ne voit que les éléments
de C(V ) ayant pour à G (F V ) le caractère ξ(V ) (cf. X.6.1). Ainsi pour de telles
Chapitre X. Stabilisation spectrale
nulle ; pour nous il suffit de l’avoir pour les fonctions f v0 dans l’algèbre de Hecke
sphérique.
Malheureusement, il n’est pas vrai en toute généralité que de telles fonctions
ont leur composante elliptique nulle. Comme ce bug apparaît déjà dans la stabilisation de la formule des traces non tordue, on explique ici comment faire fonctionner
cette preuve dans le cas tordu et dans le cas non tordu. Dans le cas non tordu les
éléments exceptionnels sont les produits d’éléments centraux et d’éléments unipotents et il y en a dans tous les cas (mais ils ne posent pas de problème si G est
un tore) et dans le cas tordu, il n’y en a que si ω = 1 et G vérifie les hypothèses
du (iii) de X.6.1 (pas tout à fait, le groupe n’est déployé qu’à une restriction des
scalaires près, opération insignifiante).
On reprend les notations de X.6.3, en particulier π
V
disc,ν et on suppose que V
est suffisamment grand pour que le (1) de X.6.3 soit vérifié. On veut montrer que
(4)
tr π
V
disc,ν (f V 1 ˜
K V ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st (f
G
V 1 ˜
K V
G
).
On reprend la notation C(V ) de X.6.3 et pour ξ ∈ C(V ) on note ξ(V ) la restriction
de ξ à G (F V ) et pour tout v 0 /
∈ V on note ξ(v 0 ) la restriction de ξ à G (F v0 ).
On garde aussi les notations f
ξ(V )
V
de X.6.3. Le côté gauche de (4) est, d’après la
proposition de X.6.3
(5)
tr π
V
disc,ν (f V 1 ˜
K V ) =
ξ∈C(V )
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ).
Fixons ξ ∈ C(V ) et avec X.6.3 fixons v 0 tel que ξ(v 0 ) = 1. On sait alors (cf. X.6.2)
que 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
a sa composante elliptique nulle. D’après la proposition 6.3, on a :
(6)
tr π
V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 ˜
K V ) = tr π
V ∪{v0}
disc,ν (f
ξ(V )
V
1
ξ(v0)
˜
Kv 0
1 ˜
K V ∪{v 0 } )
et on va pouvoir appliquer la stabilisation grâce à la propriété de 1
ξ(v0)
˜
Kv 0
. Il faut
d’abord remarquer que
(7)
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V
ν,st ((f
ξ(V )
V
)
G
1 ˜
K V
G
)
=
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
,V ∪{v0}
ν,st
((f
ξ(V )
V
)
G
(1
ξ(v0)
˜
Kv 0
)
G
1 ˜
K
V ∪{v 0 }
G
).
En effet le membre de gauche de (7) ne voit que les G
tel que le caractère ω
G
soit dans C(V ) : le caractère doit être non ramifié hors de V car les données
endoscopiques le sont et il doit être trivial sur l’image de G(A F ). De plus comme
la fonction qui intervient est le transfert de f
ξ(V )
V
, ce terme ne voit que les éléments
de C(V ) ayant pour à G (F V ) le caractère ξ(V ) (cf. X.6.1). Ainsi pour de telles