X.8. Stabilisation de la formule des traces
1241
X.8 Stabilisation de la formule des traces
X.8.1 Stabilisation spectrale
Théorème. Pour toute fonction f ∈ ˜
G(A),
(1)
I disc (ω, f ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
),
où G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
G. Ou encore,
pour tout caractère infinitésimal ν de G(F ∞ ) et pour tout ensemble fini de places
V contenant les places archimédiennes et les places où ˜
G est ramifié (c’est-à-dire
V ram ) et pour tout caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique
c
V hors de V , on a l’égalité (dans le groupe de Grothendieck complexifié des ω
représentations de ˜
G(A))
(2)
π disc,ν (c
V ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert(π
G
disc,st,ν (c
V )),
où ici G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
G non
ramifiées hors de V et relevantes
On fixe un ensemble fini V
de places contenant V ram . On suppose en plus
que V
− V ram contient au moins une place et on en fixe une v 0 . On a démontré la
stabilisation locale des intégrales orbitales pondérées. On considère
(3)
I
˜
G
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
V 1 K G ,V ).
Il ne reste que les termes correspondant aux éléments exceptionnels (cf. la preuve
de X.7.2). Donc (3) est nulle pour toute fonction f qui en v 0 , est nulle près des
éléments exceptionnels (s’il y en a). Ainsi pour une telle fonction on a l’égalité
(1) du théorème. On a vérifié en X.5.4 que cela entraine l’égalité des traces en
(2) à condition de se limiter aux fonctions que l’on vient de préciser. On pose
V = V
− {v 0 }.
On fixe f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), on note alors f
v0 le produit de cette fonction avec
1 ˜
K V . La forme linéaire
f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 ), ω)
→ tr π ν (c
V
)(f v0 f
v0 ) −
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
π
G
st,ν (c
V
)(f
G
v0 f
v0,G
)
est nulle sur l’intersection des noyaux des formes linéaires définies par les ωintégrales orbitales en les éléments isolés de ˜
G(F v0 ). On sait comme dans X.3.4 que
cette nullité se propage à toutes les fonctions f v0 dont la composante elliptique est
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X.8 Stabilisation de la formule des traces
X.8.1 Stabilisation spectrale
Théorème. Pour toute fonction f ∈ ˜
G(A),
(1)
I disc (ω, f ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
),
où G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
G. Ou encore,
pour tout caractère infinitésimal ν de G(F ∞ ) et pour tout ensemble fini de places
V contenant les places archimédiennes et les places où ˜
G est ramifié (c’est-à-dire
V ram ) et pour tout caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique
c
V hors de V , on a l’égalité (dans le groupe de Grothendieck complexifié des ω
représentations de ˜
G(A))
(2)
π disc,ν (c
V ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert(π
G
disc,st,ν (c
V )),
où ici G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
G non
ramifiées hors de V et relevantes
On fixe un ensemble fini V
de places contenant V ram . On suppose en plus
que V
− V ram contient au moins une place et on en fixe une v 0 . On a démontré la
stabilisation locale des intégrales orbitales pondérées. On considère
(3)
I
˜
G
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
V 1 K G ,V ).
Il ne reste que les termes correspondant aux éléments exceptionnels (cf. la preuve
de X.7.2). Donc (3) est nulle pour toute fonction f qui en v 0 , est nulle près des
éléments exceptionnels (s’il y en a). Ainsi pour une telle fonction on a l’égalité
(1) du théorème. On a vérifié en X.5.4 que cela entraine l’égalité des traces en
(2) à condition de se limiter aux fonctions que l’on vient de préciser. On pose
V = V
− {v 0 }.
On fixe f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), on note alors f
v0 le produit de cette fonction avec
1 ˜
K V . La forme linéaire
f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 ), ω)
→ tr π ν (c
V
)(f v0 f
v0 ) −
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
π
G
st,ν (c
V
)(f
G
v0 f
v0,G
)
est nulle sur l’intersection des noyaux des formes linéaires définies par les ωintégrales orbitales en les éléments isolés de ˜
G(F v0 ). On sait comme dans X.3.4 que
cette nullité se propage à toutes les fonctions f v0 dont la composante elliptique est