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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. Pour tout ensemble fini V de places contenant V ram , pour toute donnée
endoscopique M
de ˜
M non ramifiée hors de V et pour tout élément δ ∈ M
(F )
non ramifié hors de V c’est-à-dire δ ∈ ˜
K
M
v
pour v ∈ V :
v∈V
v (M
, δ v ) = 0.
On écrit X.7.2 : on considère des fonctions f V =
v∈V f v ∈ I( ˜
G(F V ), ω), qui
sont ˜
M cuspidales en au moins deux places et qui sont nulles près des éléments
isolés pour tout v ∈ V s’il y en a et si v est p-adique. On connaît donc la stabilisation spectrale pour ces fonctions et donc I
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K M,V ) = 0 (avec les notations
de X.7.2). Par définition h
f
V est une somme sur les places v 0 ∈ V des fonctions
h v0 :=
˜
G
˜
M,v0
(f v0 )
v ∈V −{v0} f v , ˜
M . On écrit I
˜
M
geo sous forme endoscopique pour
chacune de ces fonctions et on obtient une somme sur v 0 ∈ V des termes
M
i( ˜
M, M
)SI
M
geo (h
M
v0 1 ˜
K M ,V ).
On calcule
h
M
v0 = ( ˜
M,v0 (f v0 ))
M
(Fv 0 )
v∈V −{v0}
(f v, ˜
M )
M
(Fv ) = v0 (M
, )
v∈V
(f v, ˜
M )
M
(Fv) .
Donc finalement on obtient :
(1)
M
i( ˜
M , M
)SI
M
geo
v∈V
v (M
, )
v∈V
(f v, ˜
M )
M
(Fv ) 1 ˜
K M ,V
= 0.
Un terme indexé par une donnée M
est une somme sur les classes de conjugaisons stables coupant les points rationnels de M
, et quand f V est fixée la somme
est nécessairement finie puisque la fonction à laquelle on l’applique est à support
compact. On fixe en toute place de V un sous ensemble compact et on s’autorise
encore à restreindre le support des fonctions en supposant qu’il se trouve à l’intérieur de ce compact. On fixe M
0 et δ ∈ M
0 (F ). On note δ V la composante dans
V de δ ; on considère en fait la classe de conjugaison stable de δ V sous l’action du
normalisateur de ˜
M dans G. En jouant sur les fonctions f V , on peut restreindre
la somme aux données endoscopiques elliptiques qui se localisent en toute place
de V en le localisé de M
0 ; on peut encore imposer que la somme sur les points
rationnels d’une telle donnée ne porte que sur les classes de conjugaison stable qui
en toute place de V se localisent en la même classe que δ V . On obtient alors :
v∈V
v (M
, δ v )
M ,δ
SI
M
((δ
)
V , 1 ˜
K M ,V ) = 0,
où la somme porte sur les couples M
, δ
décrits.
Mais les termes SI
M
((δ
)
V , 1 ˜
K M ,V ) sont à valeurs positives ou nulles et au
moins l’un d’eux est strictement positif d’après l’hypothèse de non-ramification de
δ hors de V . Et on obtient le lemme.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. Pour tout ensemble fini V de places contenant V ram , pour toute donnée
endoscopique M
de ˜
M non ramifiée hors de V et pour tout élément δ ∈ M
(F )
non ramifié hors de V c’est-à-dire δ ∈ ˜
K
M
v
pour v ∈ V :
v∈V
v (M
, δ v ) = 0.
On écrit X.7.2 : on considère des fonctions f V =
v∈V f v ∈ I( ˜
G(F V ), ω), qui
sont ˜
M cuspidales en au moins deux places et qui sont nulles près des éléments
isolés pour tout v ∈ V s’il y en a et si v est p-adique. On connaît donc la stabilisation spectrale pour ces fonctions et donc I
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K M,V ) = 0 (avec les notations
de X.7.2). Par définition h
f
V est une somme sur les places v 0 ∈ V des fonctions
h v0 :=
˜
G
˜
M,v0
(f v0 )
v ∈V −{v0} f v , ˜
M . On écrit I
˜
M
geo sous forme endoscopique pour
chacune de ces fonctions et on obtient une somme sur v 0 ∈ V des termes
M
i( ˜
M, M
)SI
M
geo (h
M
v0 1 ˜
K M ,V ).
On calcule
h
M
v0 = ( ˜
M,v0 (f v0 ))
M
(Fv 0 )
v∈V −{v0}
(f v, ˜
M )
M
(Fv ) = v0 (M
, )
v∈V
(f v, ˜
M )
M
(Fv) .
Donc finalement on obtient :
(1)
M
i( ˜
M , M
)SI
M
geo
v∈V
v (M
, )
v∈V
(f v, ˜
M )
M
(Fv ) 1 ˜
K M ,V
= 0.
Un terme indexé par une donnée M
est une somme sur les classes de conjugaisons stables coupant les points rationnels de M
, et quand f V est fixée la somme
est nécessairement finie puisque la fonction à laquelle on l’applique est à support
compact. On fixe en toute place de V un sous ensemble compact et on s’autorise
encore à restreindre le support des fonctions en supposant qu’il se trouve à l’intérieur de ce compact. On fixe M
0 et δ ∈ M
0 (F ). On note δ V la composante dans
V de δ ; on considère en fait la classe de conjugaison stable de δ V sous l’action du
normalisateur de ˜
M dans G. En jouant sur les fonctions f V , on peut restreindre
la somme aux données endoscopiques elliptiques qui se localisent en toute place
de V en le localisé de M
0 ; on peut encore imposer que la somme sur les points
rationnels d’une telle donnée ne porte que sur les classes de conjugaison stable qui
en toute place de V se localisent en la même classe que δ V . On obtient alors :
v∈V
v (M
, δ v )
M ,δ
SI
M
((δ
)
V , 1 ˜
K M ,V ) = 0,
où la somme porte sur les couples M
, δ
décrits.
Mais les termes SI
M
((δ
)
V , 1 ˜
K M ,V ) sont à valeurs positives ou nulles et au
moins l’un d’eux est strictement positif d’après l’hypothèse de non-ramification de
δ hors de V . Et on obtient le lemme.