X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1239
Remarque. On peut aussi montrer directement que, pour v ∈ V
telle que A ˜
M,v =
A ˜
M , l’ensemble de sommation de
I
˜
M
geo (ω, , ˜
M,v (f v ) ⊗ (⊗ v ∈V ,v =v f v , ˜
M )1 ˜
K V )
est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que des supports des f v , ˜
M pour
v
= v, donc aussi que des supports des f v pour v
= v. Cela résulte facilement
du fait que ˜
M,v (f v ) est cuspidale.
En restreignant les supports des fonctions f ui pour i = 1, 2, on peut alors
sortir de l’ensemble de sommation les éléments qui ne sont pas dans la réunion
sur n ∈ Norm G ( ˜
M ) des classes de conjugaison stable de nγn
−1 . Il ne reste plus
qu’une double somme sur n ∈ Norm G ( ˜
M ) et sur les éléments stablement conjugués
à nγn
−1 . Les fonctions intervenant étant invariantes par Norm G ( ˜
M ), on obtient
simplement la somme sur les éléments stablement conjugués à γ, multipliée par le
nombre d’éléments de Norm G ( ˜
M ). On écrit alors (2) en termes endoscopiques en
considérant séparément chaque terme composant h
f
V (qui, on le rappelle, est une
somme sur v ∈ V
). A cause des conditions en u i pour i = 1 et 2, on est sûr que
les couples M
, δ
intervenant dans la somme se localisent en au moins une de
ces places en le localisé de M
, δ. Ainsi soit (M
, δ
) = (M
, δ) soit il existe deux
places dans S où le caractère ω
M
différe du caractère ω
M
. Or pour contribuer la
donnée endoscopique doit évidemment avoir son caractère qui coïncide avec celui
de M
en toute place de S (sauf éventuellement une) puisque qu’en toute place de
S, le terme constant de f V , ˜
M a cette propriété de transformation. Contradiction,
qui entraîne (M
, δ
) = (M
, δ).
Alors le terme de gauche de (2) n’est autre que SI
M
(δ, h
f
V ⊗ 1
M
,V
˜
K
). Cela
donne l’égalité
0 = xSI
M
(δ v0 , ,
M
˜
M
(f v0 ))
v∈V ;v =v0
SI
M
(δ, f v, ˜
M ) + ySI
M
(δ v0 , f v0, ˜
M ),
où x est un scalaire non nul et y un autre scalaire (éventuellement nul) qui est la
contribution des places v = v 0 faisant intervenir
M
˜
M
(f v ). D’où encore
(3)
SI
M
(δ v0 , ,
M
˜
M
(f v0 )) = 0
si SI
M
(δ v0 , f v0, ˜
M ) = 0. Ainsi la première forme linéaire est proportionnelle à la
seconde et cela termine la preuve de la première hypothèse clé.
Preuve de la deuxième hypothèse clé
La situation est encore globale. On dispose de ˜
G, ˜
M, a. Pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M et en toute place v, on a défini la fonction sur les
éléments très réguliers de M
(F v ), v (M
, ). On sait que cette fonction est nulle
sauf éventuellement sur les éléments elliptiques.
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Remarque. On peut aussi montrer directement que, pour v ∈ V
telle que A ˜
M,v =
A ˜
M , l’ensemble de sommation de
I
˜
M
geo (ω, , ˜
M,v (f v ) ⊗ (⊗ v ∈V ,v =v f v , ˜
M )1 ˜
K V )
est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que des supports des f v , ˜
M pour
v
= v, donc aussi que des supports des f v pour v
= v. Cela résulte facilement
du fait que ˜
M,v (f v ) est cuspidale.
En restreignant les supports des fonctions f ui pour i = 1, 2, on peut alors
sortir de l’ensemble de sommation les éléments qui ne sont pas dans la réunion
sur n ∈ Norm G ( ˜
M ) des classes de conjugaison stable de nγn
−1 . Il ne reste plus
qu’une double somme sur n ∈ Norm G ( ˜
M ) et sur les éléments stablement conjugués
à nγn
−1 . Les fonctions intervenant étant invariantes par Norm G ( ˜
M ), on obtient
simplement la somme sur les éléments stablement conjugués à γ, multipliée par le
nombre d’éléments de Norm G ( ˜
M ). On écrit alors (2) en termes endoscopiques en
considérant séparément chaque terme composant h
f
V (qui, on le rappelle, est une
somme sur v ∈ V
). A cause des conditions en u i pour i = 1 et 2, on est sûr que
les couples M
, δ
intervenant dans la somme se localisent en au moins une de
ces places en le localisé de M
, δ. Ainsi soit (M
, δ
) = (M
, δ) soit il existe deux
places dans S où le caractère ω
M
différe du caractère ω
M
. Or pour contribuer la
donnée endoscopique doit évidemment avoir son caractère qui coïncide avec celui
de M
en toute place de S (sauf éventuellement une) puisque qu’en toute place de
S, le terme constant de f V , ˜
M a cette propriété de transformation. Contradiction,
qui entraîne (M
, δ
) = (M
, δ).
Alors le terme de gauche de (2) n’est autre que SI
M
(δ, h
f
V ⊗ 1
M
,V
˜
K
). Cela
donne l’égalité
0 = xSI
M
(δ v0 , ,
M
˜
M
(f v0 ))
v∈V ;v =v0
SI
M
(δ, f v, ˜
M ) + ySI
M
(δ v0 , f v0, ˜
M ),
où x est un scalaire non nul et y un autre scalaire (éventuellement nul) qui est la
contribution des places v = v 0 faisant intervenir
M
˜
M
(f v ). D’où encore
(3)
SI
M
(δ v0 , ,
M
˜
M
(f v0 )) = 0
si SI
M
(δ v0 , f v0, ˜
M ) = 0. Ainsi la première forme linéaire est proportionnelle à la
seconde et cela termine la preuve de la première hypothèse clé.
Preuve de la deuxième hypothèse clé
La situation est encore globale. On dispose de ˜
G, ˜
M, a. Pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M et en toute place v, on a défini la fonction sur les
éléments très réguliers de M
(F v ), v (M
, ). On sait que cette fonction est nulle
sauf éventuellement sur les éléments elliptiques.