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Chapitre X. Stabilisation spectrale
On remplace éventuellement F par une extension finie E de F , bonne pour la
place v 0 comme en X.7.6, munie de ses places v
0 , u 1 et u 2 . On fixe V un ensemble de
places de E contenant v
0 , contenant V
E
ram ainsi que u i pour i = 1, 2 et satisfaisant
pour u = u 1 et u = u 2 au lemme de X.7.6. Ici on peut remplacer F par E, v 0 par
v
0 , E disparaît et on a donc E F ( ˜
M, ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques
elliptiques relevantes de ˜
M , ω, qui sont non ramifiées hors de V . On sait que cet
ensemble est fini. On suppose bien évidemment (quitte à élargir V ) que M
est
dans cet ensemble et on a δ ∈ M
une globalisation de δ v0 . En utilisant les lemmes
de X.7.5 et X.7.6, on fixe S un ensemble de places de F hors de V tel que pour
tout couple M
, δ
comme dans X.7.6, pour lequel en la place u 1 ou (c’est bien
”ou” et pas ”et”) la place u 2 , le localisé de ce couple est le même que le localisé du
couple M
, δ, soit (M
, δ
) = (M
, δ), soit il existe au moins deux places distinctes
dans S où le caractère associé à M
diffère du caractère associé à M
.
On pose V
= V ∪ S.
On construit maintenant des fonctions auxquelles on va pouvoir appliquer
X.7.2. On considère une fonction f V = ⊗ v∈V f v vérifiant les hypothèses de cette
référence. En particulier, f v0 est une fonction quelconque vérifiant l’hypothèse de
l’énoncé. On affine les constructions de la façon suivante : en les places u i pour
i = 1, 2, on suppose que f ui vérifie en plus, f ui, ˜
M est cuspidale et (f ui, ˜
M )
M
= 0
si M
n’a pas la même localisation que M
en u i et f
M
˜
M,ui
(δ
i ) = 0 pour tout δ
i
correspondant à γ qui n’est pas dans la classe de conjugaison stable de δ ui ni dans
un de ses conjugués sous Norm G ( ˜
M ). . En toutes les places de V
hormis celles au
dessus de v 0 , on impose en plus que f
M
v, ˜
M
(δ v ) = 1. Pour v ∈ S, on impose en plus
que la fonction considérée soit de la forme f
ω
M
v
, et en particulier se transforme
sous l’action de M (F v ) suivant la composante locale du caractère associé à M
.
On applique la proposition de X.7.2 à f V , c’est-à-dire que l’on connaît pour
une telle fonction la stabilisation spectrale. On revient alors au lemme de X.7.2 et
le membre de gauche de ce lemme est nul ; il en est donc de même du membre de
droite de ce lemme c’est-à-dire :
(2)
I
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K V ) = 0.
Le membre de gauche de (2) est une somme d’intégrales orbitales sur les éléments
rationnels de ˜
M (F ). La somme est finie et plus précisément, l’ensemble de sommation est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que du support de f V .
Ceci n’est pas évident à cause des fonctions ˜
M,v (f v ) qui apparaissent dans la définition de h
f
V et dont on ne contrôle pas le support. Mais l’argument est le même
que dans le cas non tordu, cf. [20] p. 849. C’est-à-dire que (2) a été construit à
partir de la formule de traces tordues de ˜
G et des formules de traces stables de
ses espaces endoscopiques. Un raisonnement par récurrence montre qu’il suffit que
l’ensemble de sommation dans la formule de traces tordues de ˜
G soit contenu dans
un ensemble fini qui ne dépend que du support de f V . Or c’est l’assertion du
théorème 3.3 de [8].
Chapitre X. Stabilisation spectrale
On remplace éventuellement F par une extension finie E de F , bonne pour la
place v 0 comme en X.7.6, munie de ses places v
0 , u 1 et u 2 . On fixe V un ensemble de
places de E contenant v
0 , contenant V
E
ram ainsi que u i pour i = 1, 2 et satisfaisant
pour u = u 1 et u = u 2 au lemme de X.7.6. Ici on peut remplacer F par E, v 0 par
v
0 , E disparaît et on a donc E F ( ˜
M, ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques
elliptiques relevantes de ˜
M , ω, qui sont non ramifiées hors de V . On sait que cet
ensemble est fini. On suppose bien évidemment (quitte à élargir V ) que M
est
dans cet ensemble et on a δ ∈ M
une globalisation de δ v0 . En utilisant les lemmes
de X.7.5 et X.7.6, on fixe S un ensemble de places de F hors de V tel que pour
tout couple M
, δ
comme dans X.7.6, pour lequel en la place u 1 ou (c’est bien
”ou” et pas ”et”) la place u 2 , le localisé de ce couple est le même que le localisé du
couple M
, δ, soit (M
, δ
) = (M
, δ), soit il existe au moins deux places distinctes
dans S où le caractère associé à M
diffère du caractère associé à M
.
On pose V
= V ∪ S.
On construit maintenant des fonctions auxquelles on va pouvoir appliquer
X.7.2. On considère une fonction f V = ⊗ v∈V f v vérifiant les hypothèses de cette
référence. En particulier, f v0 est une fonction quelconque vérifiant l’hypothèse de
l’énoncé. On affine les constructions de la façon suivante : en les places u i pour
i = 1, 2, on suppose que f ui vérifie en plus, f ui, ˜
M est cuspidale et (f ui, ˜
M )
M
= 0
si M
n’a pas la même localisation que M
en u i et f
M
˜
M,ui
(δ
i ) = 0 pour tout δ
i
correspondant à γ qui n’est pas dans la classe de conjugaison stable de δ ui ni dans
un de ses conjugués sous Norm G ( ˜
M ). . En toutes les places de V
hormis celles au
dessus de v 0 , on impose en plus que f
M
v, ˜
M
(δ v ) = 1. Pour v ∈ S, on impose en plus
que la fonction considérée soit de la forme f
ω
M
v
, et en particulier se transforme
sous l’action de M (F v ) suivant la composante locale du caractère associé à M
.
On applique la proposition de X.7.2 à f V , c’est-à-dire que l’on connaît pour
une telle fonction la stabilisation spectrale. On revient alors au lemme de X.7.2 et
le membre de gauche de ce lemme est nul ; il en est donc de même du membre de
droite de ce lemme c’est-à-dire :
(2)
I
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K V ) = 0.
Le membre de gauche de (2) est une somme d’intégrales orbitales sur les éléments
rationnels de ˜
M (F ). La somme est finie et plus précisément, l’ensemble de sommation est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que du support de f V .
Ceci n’est pas évident à cause des fonctions ˜
M,v (f v ) qui apparaissent dans la définition de h
f
V et dont on ne contrôle pas le support. Mais l’argument est le même
que dans le cas non tordu, cf. [20] p. 849. C’est-à-dire que (2) a été construit à
partir de la formule de traces tordues de ˜
G et des formules de traces stables de
ses espaces endoscopiques. Un raisonnement par récurrence montre qu’il suffit que
l’ensemble de sommation dans la formule de traces tordues de ˜
G soit contenu dans
un ensemble fini qui ne dépend que du support de f V . Or c’est l’assertion du
théorème 3.3 de [8].