X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1237
En effet soit v
une place de E
tel que χ δ ,v = χ δ ,v ; on note ω
M
,v la composante
en la place v
du caractère ω
M
◦Norm E /E et on utilise une notation analogue avec
M
remplacé par M
. Et comme dans la preuve de X.7.5, on voit que ω
M
,v (ω
M
,v )
−1
est l’image du cocycle (χ δ ,v χ
−1
δ ,v , 1) dans la suite exacte (∗) de cette preuve. Et
on conclut comme en X.7.5.
X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale
On a montré dans les chapitres II à V que le théorème X.3.5 impliquait la stabilisation géométrique locale, c’est–dire le même énoncé que ce théorème mais où
l’on supprime l’hypothèse de régularité. Le théorème X.3.5 a été démontré dans
ce paragraphe sous deux hypothèses clés qu’il nous reste à démontrer.
La première hypothèse clé
On démontre ici la première hypothèse clé faite en X.3.5.
Dans X.3.5 la situation est locale ; on la globalise grâce à X.7.4 et X.7.6
On a ainsi construit une situation globale où en la place v = v 0 on retrouve
la situation locale de X.3.5 et tel que M (F ) est dense dans M (F v0 ) ; comme ˜
M (F )
est non vide et que M (F ) est dense dans M (F v0 ), ˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ).
D’après la construction, on a aussi A M = A M0 et A ˜
M = A ˜
M0 . On a construit
la situation globale de façon à globaliser le caractère de M (F v0 ) et les données
endoscopiques elliptiques M
0 en la place locale.
Lemme. Il existe une fonction lisse (M
, δ 0 ) sur l’ensemble des classes de conjugaison stable d’éléments fortement réguliers de M
(F v0 ) telle que pour toute fonction f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 ), ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a et si v 0
est p-adique :
(1)
M
˜
M
(f )(δ 0 ) = (M
, δ 0 )f
M
˜
M
(δ 0 ),
On commence par remarquer que si (M
, δ 0 ) existe en tant que fonction elle
est nécessairement lisse. Le problème est donc de démontrer l’existence de cette
fonction. On sait que le membre de gauche est l’intégrale orbitale en δ 0 d’une
fonction cuspidale. Il suffit donc de démontrer l’existence de cette fonction pour
les éléments δ 0 qui sont elliptiques dans M
(F v0 ).
On remarque aussi qu’il suffit de prouver l’existence d’une telle fonction en
tout point de M
(F v0 ) qui correspond à un élément γ ∈ ˜
M (F v0 ) qui provient, par
localisation, de ˜
M (F ), puisque l’on a supposé que ˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ).
On fixe un tel γ, on note ˜
T le tore tordu maximal le contenant et on peut supposer
que ˜
T est elliptique en v 0 .
On reprend à peu près telle quelle la démonstration de [20] 7.3 avec les
modifications nécessaires puisque la globalisation est plus compliquée.
1237
En effet soit v
une place de E
tel que χ δ ,v = χ δ ,v ; on note ω
M
,v la composante
en la place v
du caractère ω
M
◦Norm E /E et on utilise une notation analogue avec
M
remplacé par M
. Et comme dans la preuve de X.7.5, on voit que ω
M
,v (ω
M
,v )
−1
est l’image du cocycle (χ δ ,v χ
−1
δ ,v , 1) dans la suite exacte (∗) de cette preuve. Et
on conclut comme en X.7.5.
X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale
On a montré dans les chapitres II à V que le théorème X.3.5 impliquait la stabilisation géométrique locale, c’est–dire le même énoncé que ce théorème mais où
l’on supprime l’hypothèse de régularité. Le théorème X.3.5 a été démontré dans
ce paragraphe sous deux hypothèses clés qu’il nous reste à démontrer.
La première hypothèse clé
On démontre ici la première hypothèse clé faite en X.3.5.
Dans X.3.5 la situation est locale ; on la globalise grâce à X.7.4 et X.7.6
On a ainsi construit une situation globale où en la place v = v 0 on retrouve
la situation locale de X.3.5 et tel que M (F ) est dense dans M (F v0 ) ; comme ˜
M (F )
est non vide et que M (F ) est dense dans M (F v0 ), ˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ).
D’après la construction, on a aussi A M = A M0 et A ˜
M = A ˜
M0 . On a construit
la situation globale de façon à globaliser le caractère de M (F v0 ) et les données
endoscopiques elliptiques M
0 en la place locale.
Lemme. Il existe une fonction lisse (M
, δ 0 ) sur l’ensemble des classes de conjugaison stable d’éléments fortement réguliers de M
(F v0 ) telle que pour toute fonction f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 ), ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a et si v 0
est p-adique :
(1)
M
˜
M
(f )(δ 0 ) = (M
, δ 0 )f
M
˜
M
(δ 0 ),
On commence par remarquer que si (M
, δ 0 ) existe en tant que fonction elle
est nécessairement lisse. Le problème est donc de démontrer l’existence de cette
fonction. On sait que le membre de gauche est l’intégrale orbitale en δ 0 d’une
fonction cuspidale. Il suffit donc de démontrer l’existence de cette fonction pour
les éléments δ 0 qui sont elliptiques dans M
(F v0 ).
On remarque aussi qu’il suffit de prouver l’existence d’une telle fonction en
tout point de M
(F v0 ) qui correspond à un élément γ ∈ ˜
M (F v0 ) qui provient, par
localisation, de ˜
M (F ), puisque l’on a supposé que ˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ).
On fixe un tel γ, on note ˜
T le tore tordu maximal le contenant et on peut supposer
que ˜
T est elliptique en v 0 .
On reprend à peu près telle quelle la démonstration de [20] 7.3 avec les
modifications nécessaires puisque la globalisation est plus compliquée.