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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Pour avoir la finitude du nombre de caractères, il ne reste plus qu’à remarquer
que si l’on fixe un point de base M
, δ, les cocycles χ δ χ
−1
δ
sont à valeurs dans
Z( ˆ
M )
ˆ
θ /Z( ˆ
M )
ˆ
θ
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 qui est un groupe fini : en effet (1 − ˆ
θ)χ δ est à valeurs dans
Z( ˆ
M ) et doit coïncider avec le cocyle a déterminant ω ◦ Norm E/F . D’où l’assertion
qui prouve la finitude.
X.7.6 Globalisation fine
On fixe M
0 une donnée endoscopique elliptique en la place v 0 . On globalise une
première fois à l’aide de X.7.4, d’où un corps de nombres F . On fixe aussi un
tore tore tordu elliptique ˜
T de ˜
M qui en la place v 0 se localise en un tore tordu
elliptique. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M et un élément
δ
de cette donnée dont on suppose qu’il appartient à un tore se transférant en ˜
T .
On dit que E, une extension finie de F, est une bonne extension pour la
place v 0 si les conditions suivantes sont satisfaites. D’une part, il existe une place
v
0 de E au-dessus de v 0 telle que E v
0
= F v0 . D’autre part, il existe une extension
galoisienne E
de E qui déploie ˜
T et deux places u 1 et u 2 de E distinctes de v
0 telles
que E
ui soit un corps pour i = 1, 2, donc telles que la localisation de Gal(E
/E)
dans Gal(E
ui /E ui ) soit un isomorphisme. Il existe de bonnes extensions pour la
place v 0 .
On fixe de telles données. On note V
E
ram l’analogue de V ram sur le corps E.
Pour V un ensemble de places de E contenant V
E
ram et tel que ˜
T soit non ramifié
hors de V , on reprend la notation E E ( ˜
M , ω, V ) de X.7.4, c’est l’ensemble des
données endoscopiques elliptiques et relevantes pour ˜
M (vu sur E) qui sont non
ramifiées hors de V . Pour la suite, on aura besoin de deux places, pour le lemme
qui suit il suffit d’une place u ayant les propriétés de u 1 et u 2 . On fixe donc une
telle place.
Lemme. Il existe un ensemble fini de places V de E (contenant V
E
ram ) tel que pour
toute donnée endoscopique elliptique M
∈ E E ( ˜
M , ω, V ) contenant un élément δ
dans un tore se transférant en ˜
T telles que le localisé de M
, δ
coïncide avec le
localisé de M
, δ
en la place u, on a :
– soit (M
, δ
) = (M
, δ
) à équivalence près
– soit le caractère automorphe associé à M
est différent du caractère automorphe associé à M’.
Comme annoncé on reprend l’assertion (1) de la preuve de X.7.5 en remplaçant F et E par E et E
; l’hypothèse faite sur E et chacune des places u i pour
i = 1, 2 assure que l’on peut l’utiliser. On fixe M
, δ
satisfaisant à la condition
du lemme. D’après l’assertion (1) de X.7.5, soit (M
, δ
) = (M
, δ
) soit, avec les
notations introduites à cette place, χ δ = χ δ . On va montrer que cela force
ω
M
◦ Norm E /E = ω
M
◦ Norm E /E .
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Pour avoir la finitude du nombre de caractères, il ne reste plus qu’à remarquer
que si l’on fixe un point de base M
, δ, les cocycles χ δ χ
−1
δ
sont à valeurs dans
Z( ˆ
M )
ˆ
θ /Z( ˆ
M )
ˆ
θ
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 qui est un groupe fini : en effet (1 − ˆ
θ)χ δ est à valeurs dans
Z( ˆ
M ) et doit coïncider avec le cocyle a déterminant ω ◦ Norm E/F . D’où l’assertion
qui prouve la finitude.
X.7.6 Globalisation fine
On fixe M
0 une donnée endoscopique elliptique en la place v 0 . On globalise une
première fois à l’aide de X.7.4, d’où un corps de nombres F . On fixe aussi un
tore tore tordu elliptique ˜
T de ˜
M qui en la place v 0 se localise en un tore tordu
elliptique. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M et un élément
δ
de cette donnée dont on suppose qu’il appartient à un tore se transférant en ˜
T .
On dit que E, une extension finie de F, est une bonne extension pour la
place v 0 si les conditions suivantes sont satisfaites. D’une part, il existe une place
v
0 de E au-dessus de v 0 telle que E v
0
= F v0 . D’autre part, il existe une extension
galoisienne E
de E qui déploie ˜
T et deux places u 1 et u 2 de E distinctes de v
0 telles
que E
ui soit un corps pour i = 1, 2, donc telles que la localisation de Gal(E
/E)
dans Gal(E
ui /E ui ) soit un isomorphisme. Il existe de bonnes extensions pour la
place v 0 .
On fixe de telles données. On note V
E
ram l’analogue de V ram sur le corps E.
Pour V un ensemble de places de E contenant V
E
ram et tel que ˜
T soit non ramifié
hors de V , on reprend la notation E E ( ˜
M , ω, V ) de X.7.4, c’est l’ensemble des
données endoscopiques elliptiques et relevantes pour ˜
M (vu sur E) qui sont non
ramifiées hors de V . Pour la suite, on aura besoin de deux places, pour le lemme
qui suit il suffit d’une place u ayant les propriétés de u 1 et u 2 . On fixe donc une
telle place.
Lemme. Il existe un ensemble fini de places V de E (contenant V
E
ram ) tel que pour
toute donnée endoscopique elliptique M
∈ E E ( ˜
M , ω, V ) contenant un élément δ
dans un tore se transférant en ˜
T telles que le localisé de M
, δ
coïncide avec le
localisé de M
, δ
en la place u, on a :
– soit (M
, δ
) = (M
, δ
) à équivalence près
– soit le caractère automorphe associé à M
est différent du caractère automorphe associé à M’.
Comme annoncé on reprend l’assertion (1) de la preuve de X.7.5 en remplaçant F et E par E et E
; l’hypothèse faite sur E et chacune des places u i pour
i = 1, 2 assure que l’on peut l’utiliser. On fixe M
, δ
satisfaisant à la condition
du lemme. D’après l’assertion (1) de X.7.5, soit (M
, δ
) = (M
, δ
) soit, avec les
notations introduites à cette place, χ δ = χ δ . On va montrer que cela force
ω
M
◦ Norm E /E = ω
M
◦ Norm E /E .