X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1235
On fixe γ ∈ ˜
T (F ) fortement régulier et on considère les couples (M
, δ) formés
d’un élément de E F ( ˜
M , ω, V ) et d’une classe de conjugaison stable δ dans cette
donnée qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ.
Soit M
, δ
satisfaisant à ces conditions. On commence par considérer la situation après extension de F à E ; sur E le tore T se déploie par hypothèse et
les données endoscopiques relatives à des classes de conjugaison stable de ˜
T (E)
donnent lieu à des caractères automorphes de M (A E ) qui valent ω ◦ Norm E/F
sur l’image de M (A F ) ; d’où un homomorphisme de W E dans Z( ˆ
M ). Ce dernier groupe est décrit en [I] 2.7. On reprend la suite exacte qui suit (2) de cette
référence :
(∗)
1 → Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M SC )
ˆ
θ (π,1− ˆ
θ)
→ Z( ˆ
M )/(Z( ˆ
M ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) × Z( ˆ
M SC )
→ Z( ˆ
M ) → 1.
On pose ˆ
U := Z( ˆ
M ) ˆ
T
ˆ
θ,0 / ˆ
T
ˆ
θ,0 . Le couple (M
, δ
) est associé à un cocycle dans
Z
1,0 (W F ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 (1− ˆ
θ)
→ ˆ
T /Z( ˆ
M )).
On note simplement δ
ce cocycle. En restreignant à W E , on obtient un morphisme de W E dans ˆ
U (qui ne dépend pas des choix). On note χ δ ce morphisme.
Montrons :
(1) L’application qui, à (M
, δ
) comme ci-dessus, associe le localisé en la place
u, (M
u , δ
u ) et le caractère χ δ est injective :
en effet soit pour i = 1, 2, des données (M
i , δ
i ) ayant même image. Alors
δ
1 (δ
2 )
−1 est un cocycle trivial sur W E puisque χ δ1 = χ δ2 . Il se factorise donc
par Gal(E/F ) mais en la place u les localisés sont les mêmes. Comme on a
supposé que la localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E u /F u ) est bijective, cela
veut dire que l’on a l’égalité de cocycles δ
1 = δ
2 . D’où l’injectivité.
Il est clair que l’ensemble des couples (M
, δ) vérifiant les conditions ci-dessus
est fini. On peut toutefois retrouver cette propriété de la façon suivante. D’après
(1), il suffit de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de caractères χ δ possibles.
Et pour cela on montre d’abord que χ δ est non ramifié hors des places de E
au-dessus de places de F dans V : soit v une place de F hors de V et v
une place
de E au dessus. On sait que ω
M
,v est non ramifié puisque M
∈ E F ( ˜
M , ω, V ).
On vérifie que ω
M
,v est l’image de χ δ ,v dans (∗) : ces cocycles doivent être
cohomologues et comme la situation est déployée sur E, ils coïncident. Soit w ∈
I E v le groupe d’inertie de W E v . On vient de vérifier que (χ δ ,v (w), 1) est d’image
triviale dans Z( ˆ
M ). D’après l’exactitude de (∗) cela entraîne l’existence de z ∈
Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M
ˆ
θ
SC ) tel que 1 = (1 − ˆ
θ)z et χ δ ,v (w) = π(z) où π est l’application
naturelle. Comme (1 − ˆ
θ) est injective sur Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M SC )
ˆ
θ cela force z = 1 et
la non ramification cherchée de χ δ ,v .
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On fixe γ ∈ ˜
T (F ) fortement régulier et on considère les couples (M
, δ) formés
d’un élément de E F ( ˜
M , ω, V ) et d’une classe de conjugaison stable δ dans cette
donnée qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ.
Soit M
, δ
satisfaisant à ces conditions. On commence par considérer la situation après extension de F à E ; sur E le tore T se déploie par hypothèse et
les données endoscopiques relatives à des classes de conjugaison stable de ˜
T (E)
donnent lieu à des caractères automorphes de M (A E ) qui valent ω ◦ Norm E/F
sur l’image de M (A F ) ; d’où un homomorphisme de W E dans Z( ˆ
M ). Ce dernier groupe est décrit en [I] 2.7. On reprend la suite exacte qui suit (2) de cette
référence :
(∗)
1 → Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M SC )
ˆ
θ (π,1− ˆ
θ)
→ Z( ˆ
M )/(Z( ˆ
M ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) × Z( ˆ
M SC )
→ Z( ˆ
M ) → 1.
On pose ˆ
U := Z( ˆ
M ) ˆ
T
ˆ
θ,0 / ˆ
T
ˆ
θ,0 . Le couple (M
, δ
) est associé à un cocycle dans
Z
1,0 (W F ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 (1− ˆ
θ)
→ ˆ
T /Z( ˆ
M )).
On note simplement δ
ce cocycle. En restreignant à W E , on obtient un morphisme de W E dans ˆ
U (qui ne dépend pas des choix). On note χ δ ce morphisme.
Montrons :
(1) L’application qui, à (M
, δ
) comme ci-dessus, associe le localisé en la place
u, (M
u , δ
u ) et le caractère χ δ est injective :
en effet soit pour i = 1, 2, des données (M
i , δ
i ) ayant même image. Alors
δ
1 (δ
2 )
−1 est un cocycle trivial sur W E puisque χ δ1 = χ δ2 . Il se factorise donc
par Gal(E/F ) mais en la place u les localisés sont les mêmes. Comme on a
supposé que la localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E u /F u ) est bijective, cela
veut dire que l’on a l’égalité de cocycles δ
1 = δ
2 . D’où l’injectivité.
Il est clair que l’ensemble des couples (M
, δ) vérifiant les conditions ci-dessus
est fini. On peut toutefois retrouver cette propriété de la façon suivante. D’après
(1), il suffit de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de caractères χ δ possibles.
Et pour cela on montre d’abord que χ δ est non ramifié hors des places de E
au-dessus de places de F dans V : soit v une place de F hors de V et v
une place
de E au dessus. On sait que ω
M
,v est non ramifié puisque M
∈ E F ( ˜
M , ω, V ).
On vérifie que ω
M
,v est l’image de χ δ ,v dans (∗) : ces cocycles doivent être
cohomologues et comme la situation est déployée sur E, ils coïncident. Soit w ∈
I E v le groupe d’inertie de W E v . On vient de vérifier que (χ δ ,v (w), 1) est d’image
triviale dans Z( ˆ
M ). D’après l’exactitude de (∗) cela entraîne l’existence de z ∈
Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M
ˆ
θ
SC ) tel que 1 = (1 − ˆ
θ)z et χ δ ,v (w) = π(z) où π est l’application
naturelle. Comme (1 − ˆ
θ) est injective sur Z( ˆ
M SC )/Z( ˆ
M SC )
ˆ
θ cela force z = 1 et
la non ramification cherchée de χ δ ,v .