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Chapitre X. Stabilisation spectrale
lui correspondant. On note ˜
T le tore tordu maximal de ˜
M contenant γ. Le seul
cas qui nous intéresse est le cas elliptique, donc on suppose que ˜
T est elliptique
dans ˜
M .
Proposition. Il existe un cocycle a de W F , une donnée endoscopique de ˜
M, a, notée
M
, et un élément δ de cette donnée, défini sur F , tel que la localisation de a en
la place v 0 soit le cocycle a 0 et la localisation de M
, δ soit M
0 , δ 0 .
La démonstration de cette proposition est reportée en X.9.
Cette globalisation n’est pas suffisante pour séparer les éléments de la classe
de conjugaison stable de γ qui interviennent dans les formules globales, uniquement
par des considérations locales. A M
est associé un caractère de M (A F ) ; comme
M = M/Z(M )
θ , il y a une application naturelle de M := M/Z(G)
θ dans M .
On a besoin des propriétés suivantes, pour toute place v de F :
l’application naturelle M (F v )/M (F v ) → G (F v )/G(F v ) est bijective et l’application naturelle M (F v ) → M (F v ) est surjective.
En effet, G (F v ) est engendré par un Levi minimal et par G SC (F v ), d’où la
surjectivité de la première application et son injectivité est claire. Pour la deuxième
application, on remarque que l’application de groupes algébriques,
M = M/Z(G)
θ
→ M = M/Z(M )
θ
a pour noyau le tore Z(M )
θ /Z(G)
θ = Z(M )
θ,0 /Z(G)
θ
∩ Z(M )
θ,0 . Ce tore est
induit et la surjectivité annoncée s’en déduit.
On peut donc relever ω en ω un caractère de M (F v ) (pour toute place v
de F ) et cette application de relèvement est injective. Et en utilisant le premier
isomorphisme ci-dessus, on voit ω comme un caractère de G (F v ). C’est le caractère de G (F v ) associé à M
vu comme groupe endoscopique non elliptique de ˜
G.
On note ce caractère ω
M
,v .
X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines
données endoscopiques
On se place dans une situation globale où ˜
G est défini sur un corps de nombres F ,
que le caractère ω est donné par un cocycle fixé, a et où on a un espace de Levi
˜
M de ˜
G. On fixe aussi un nombre fini de places V de F contenant V ram . On note
E F ( ˜
M , ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques (à équivalence près) de ˜
M , ω,
définies sur F , qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . C’est un
ensemble fini. Rappelons que l’on a montré en [VII] 2.1(3) que, pour une donnée
endoscopique elliptique M
de ˜
M , ω, la donnée M
est non ramifiée hors de V si
et seulement si le caractère ω
M
est non ramifié hors de V . Fixons un sous-tore
tordu maximal ˜
T de ˜
M , défini sur F et elliptique. On suppose en plus qu’il existe
une extension galoisienne E de F qui déploie le tore T et une place u de F tel que
E u soit un corps. L’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E u /F u ) est
alors bijective.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
lui correspondant. On note ˜
T le tore tordu maximal de ˜
M contenant γ. Le seul
cas qui nous intéresse est le cas elliptique, donc on suppose que ˜
T est elliptique
dans ˜
M .
Proposition. Il existe un cocycle a de W F , une donnée endoscopique de ˜
M, a, notée
M
, et un élément δ de cette donnée, défini sur F , tel que la localisation de a en
la place v 0 soit le cocycle a 0 et la localisation de M
, δ soit M
0 , δ 0 .
La démonstration de cette proposition est reportée en X.9.
Cette globalisation n’est pas suffisante pour séparer les éléments de la classe
de conjugaison stable de γ qui interviennent dans les formules globales, uniquement
par des considérations locales. A M
est associé un caractère de M (A F ) ; comme
M = M/Z(M )
θ , il y a une application naturelle de M := M/Z(G)
θ dans M .
On a besoin des propriétés suivantes, pour toute place v de F :
l’application naturelle M (F v )/M (F v ) → G (F v )/G(F v ) est bijective et l’application naturelle M (F v ) → M (F v ) est surjective.
En effet, G (F v ) est engendré par un Levi minimal et par G SC (F v ), d’où la
surjectivité de la première application et son injectivité est claire. Pour la deuxième
application, on remarque que l’application de groupes algébriques,
M = M/Z(G)
θ
→ M = M/Z(M )
θ
a pour noyau le tore Z(M )
θ /Z(G)
θ = Z(M )
θ,0 /Z(G)
θ
∩ Z(M )
θ,0 . Ce tore est
induit et la surjectivité annoncée s’en déduit.
On peut donc relever ω en ω un caractère de M (F v ) (pour toute place v
de F ) et cette application de relèvement est injective. Et en utilisant le premier
isomorphisme ci-dessus, on voit ω comme un caractère de G (F v ). C’est le caractère de G (F v ) associé à M
vu comme groupe endoscopique non elliptique de ˜
G.
On note ce caractère ω
M
,v .
X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines
données endoscopiques
On se place dans une situation globale où ˜
G est défini sur un corps de nombres F ,
que le caractère ω est donné par un cocycle fixé, a et où on a un espace de Levi
˜
M de ˜
G. On fixe aussi un nombre fini de places V de F contenant V ram . On note
E F ( ˜
M , ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques (à équivalence près) de ˜
M , ω,
définies sur F , qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . C’est un
ensemble fini. Rappelons que l’on a montré en [VII] 2.1(3) que, pour une donnée
endoscopique elliptique M
de ˜
M , ω, la donnée M
est non ramifiée hors de V si
et seulement si le caractère ω
M
est non ramifié hors de V . Fixons un sous-tore
tordu maximal ˜
T de ˜
M , défini sur F et elliptique. On suppose en plus qu’il existe
une extension galoisienne E de F qui déploie le tore T et une place u de F tel que
E u soit un corps. L’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E u /F u ) est
alors bijective.