X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1233
uniquement des K v type fois
˜
M (Fv ) |f v, ˜
M (γ)| dγ qui est fini puisque f v, ˜
M est à
support compact. D’où (6).
Montrons (8). On va d’abord montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de représentations ˜
π v pour lesquelles I(λ, ˜
π v , , ˜
M (f v )) est non nul. Les représentations
globales qui interviennent ont un caractère central trivial sur A ˜
M . Elles sont non
ramifiées hors de V et leur caractère sous les points adéliques du tore A ˜
M (A F )
ne parcourt donc qu’un ensemble fini de caractères automorphes unitaires. De
plus la fonction ˜
M,v (f v ) n’intervient que si A
∗
˜
M
= A
∗
˜
M,v
ce que l’on suppose.
Donc l’action de ˜
π v restreinte à A ˜
M,v (F v ) se fait via un caractère unitaire dans
un ensemble fini. On utilise le fait que ˜
M,v (f v ) est une fonction cuspidale donc
I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v )) = I(ρ v , λ, , ˜
M (f v )) si ˜
π v − ρ v est une induite propre. On peut
trouver ρ v ayant cette propriété, étant elliptique, avec même caractère que π v
sur A ˜
M,v (F v ) et pour que I(ρ v , λ, , ˜
M (f v )) soit non nul, ρ v doit contenir certains
K v -types déterminés uniquement par f v . Il n’y a donc qu’un nombre fini de possibilités ; en particulier le support cuspidal de ρ v varie dans un ensemble fini et il en
est donc de même de π v , en tout cas pour que I(π v , λ, , ˜
M (f v )) soit non nul. D’où
l’assertion de finitude ; cette assertion entraîne (8) car λ parcourt un ensemble
compact, la place étant finie, et la dépendance en λ est continue.
Montrons (7). L’assertion de finitude est analogue, on remplace l’usage du
support cuspidal par l’action du centre de l’algèbre enveloppante. Ici λ ne varie
pas dans un tore compact. La fonction λ → I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v )) est à décroissance
rapide, il existe donc, pour tout entier N , une constante c N indépendante de ˜
π v
tel que
|I(˜ π v , , ˜
M (f v ))| ≤ c N (1 + |λ|)
−N .
Comme
(1 + |λ|)
−N
≤ (1 + |ν ∞ (π ∞ )|)
N (1 + |ν ∞ (π ∞ )| + |λ|)
−N ,
en modifiant la constante, on obtient (7).
X.7.4 Globalisation
On note avec des indices 0 les termes locaux que l’on veut globaliser. On a un
corps local F 0 , un espace tordu ˜
G 0 avec un caractère ω 0 et un groupe G 0 , en fait
c’est le cocycle a 0 qui détermine ω 0 qui compte et on a aussi un espace de Levi ˜
M 0
de ˜
G 0 . D’après [47] paragraphe 2, il existe un corps de nombres F , des données
G, ˜
G, ˜
M définies sur F et une place v 0 de F qui se localisent en les données locales
précédentes. Et on peut en plus supposer comme nous le ferons que ˜
M (F ) est
dense dans ˜
M (F v0 ) et que A ˜
M = A ˜
M,v .
On fixe M
0 une donnée endoscopique elliptique relevante de ˜
M 0 , a 0 . Puisque
˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ), l’ensemble des éléments δ 0 dans M
0 qui appartiennent à une classe de conjugaison stable formées d’éléments semi-simples réguliers correspondant à une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples
réguliers de ˜
M (F ) est dense dans M
0 . On fixe δ 0 dans cet ensemble et γ ∈ ˜
M (F )
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uniquement des K v type fois
˜
M (Fv ) |f v, ˜
M (γ)| dγ qui est fini puisque f v, ˜
M est à
support compact. D’où (6).
Montrons (8). On va d’abord montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de représentations ˜
π v pour lesquelles I(λ, ˜
π v , , ˜
M (f v )) est non nul. Les représentations
globales qui interviennent ont un caractère central trivial sur A ˜
M . Elles sont non
ramifiées hors de V et leur caractère sous les points adéliques du tore A ˜
M (A F )
ne parcourt donc qu’un ensemble fini de caractères automorphes unitaires. De
plus la fonction ˜
M,v (f v ) n’intervient que si A
∗
˜
M
= A
∗
˜
M,v
ce que l’on suppose.
Donc l’action de ˜
π v restreinte à A ˜
M,v (F v ) se fait via un caractère unitaire dans
un ensemble fini. On utilise le fait que ˜
M,v (f v ) est une fonction cuspidale donc
I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v )) = I(ρ v , λ, , ˜
M (f v )) si ˜
π v − ρ v est une induite propre. On peut
trouver ρ v ayant cette propriété, étant elliptique, avec même caractère que π v
sur A ˜
M,v (F v ) et pour que I(ρ v , λ, , ˜
M (f v )) soit non nul, ρ v doit contenir certains
K v -types déterminés uniquement par f v . Il n’y a donc qu’un nombre fini de possibilités ; en particulier le support cuspidal de ρ v varie dans un ensemble fini et il en
est donc de même de π v , en tout cas pour que I(π v , λ, , ˜
M (f v )) soit non nul. D’où
l’assertion de finitude ; cette assertion entraîne (8) car λ parcourt un ensemble
compact, la place étant finie, et la dépendance en λ est continue.
Montrons (7). L’assertion de finitude est analogue, on remplace l’usage du
support cuspidal par l’action du centre de l’algèbre enveloppante. Ici λ ne varie
pas dans un tore compact. La fonction λ → I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v )) est à décroissance
rapide, il existe donc, pour tout entier N , une constante c N indépendante de ˜
π v
tel que
|I(˜ π v , , ˜
M (f v ))| ≤ c N (1 + |λ|)
−N .
Comme
(1 + |λ|)
−N
≤ (1 + |ν ∞ (π ∞ )|)
N (1 + |ν ∞ (π ∞ )| + |λ|)
−N ,
en modifiant la constante, on obtient (7).
X.7.4 Globalisation
On note avec des indices 0 les termes locaux que l’on veut globaliser. On a un
corps local F 0 , un espace tordu ˜
G 0 avec un caractère ω 0 et un groupe G 0 , en fait
c’est le cocycle a 0 qui détermine ω 0 qui compte et on a aussi un espace de Levi ˜
M 0
de ˜
G 0 . D’après [47] paragraphe 2, il existe un corps de nombres F , des données
G, ˜
G, ˜
M définies sur F et une place v 0 de F qui se localisent en les données locales
précédentes. Et on peut en plus supposer comme nous le ferons que ˜
M (F ) est
dense dans ˜
M (F v0 ) et que A ˜
M = A ˜
M,v .
On fixe M
0 une donnée endoscopique elliptique relevante de ˜
M 0 , a 0 . Puisque
˜
M (F ) est dense dans ˜
M (F v0 ), l’ensemble des éléments δ 0 dans M
0 qui appartiennent à une classe de conjugaison stable formées d’éléments semi-simples réguliers correspondant à une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples
réguliers de ˜
M (F ) est dense dans M
0 . On fixe δ 0 dans cet ensemble et γ ∈ ˜
M (F )