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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ainsi le résultat (2) s’étend en sommant sur les représentations t-discrètes de
M (A F ), non ramifiées hors de V et ayant des K V -types dans un ensemble fixé a
priori. Il n’y a évidemment aucune difficulté à vérifier que (1) s’étend aussi pour
toute représentation π de M (A F ) donnant lieu à une représentation t-discrète de
˜
M (A F ). On a donc
(3)
π
|z(˜ π)(1 + |ν(π ∞ )|)
−k
≤ ∞,
pour k convenable et où la somme porte sur les représentations π de M (A F )
intervenant dans la construction du spectre t-discret de ˜
M (A F ) comme expliqué
en X.5.1. En tenant compte de (3), pour démontrer la proposition, il suffit de
prouver que pour tout entier N , il existe une constante positive c N tel que pour
tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, on ait, pour tout π comme ci-dessus :
(4)
|I(˜ π, λ, h
f
V )| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N .
Comme h
f
V est une somme sur les places de v, il suffit de montrer cette assertion
pour tout place v de V en remplaçant h
f
V par ˜
M (f v )f
v
˜
M
. De plus avec les formules
de descente, il suffit de prouver que les inégalités suivantes :
– si v est une place archimédienne :
(5)
|I(˜ π v , λ, f v, ˜
M )| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N
– si v est une place p-adique
(6)
|I(˜ π v , λ, f v, ˜
M )| ≤ c N
donc une inégalité indépendante de λ
– si v est une place archimédienne
(7)
|I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v ))| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N
– si v est une place p-adique
(8)
|I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v ))| ≤ c N
Pour les assertions (5) et (6), on commence par remarquer que puisque le
terme constant f v, ˜
M est à support compact, I(λ, ˜
π v , f v, ˜
M ) n’est autre que la trace
de ˜
π λ,v sur f v, ˜
M . L’assertion (5) est alors démontrée en 2.1 de [32] ; l’exponentielle
en la partie réelle de ν ∞ (π) est bornée ici puisque l’on a fixé les K ∞ -types possibles.
L’assertion (6) ; la trace est une somme de coefficients matriciels où on ne
considère que les K v -types sous-lesquels se transforment f v, ˜
M . Or ces K v -types
sont fixés et leur multiplicité dans ˜
π λ,v est bornée indépendamment de cette représentation. Donc le terme de gauche de (6) est borné par une constante dépendant
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ainsi le résultat (2) s’étend en sommant sur les représentations t-discrètes de
M (A F ), non ramifiées hors de V et ayant des K V -types dans un ensemble fixé a
priori. Il n’y a évidemment aucune difficulté à vérifier que (1) s’étend aussi pour
toute représentation π de M (A F ) donnant lieu à une représentation t-discrète de
˜
M (A F ). On a donc
(3)
π
|z(˜ π)(1 + |ν(π ∞ )|)
−k
≤ ∞,
pour k convenable et où la somme porte sur les représentations π de M (A F )
intervenant dans la construction du spectre t-discret de ˜
M (A F ) comme expliqué
en X.5.1. En tenant compte de (3), pour démontrer la proposition, il suffit de
prouver que pour tout entier N , il existe une constante positive c N tel que pour
tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, on ait, pour tout π comme ci-dessus :
(4)
|I(˜ π, λ, h
f
V )| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N .
Comme h
f
V est une somme sur les places de v, il suffit de montrer cette assertion
pour tout place v de V en remplaçant h
f
V par ˜
M (f v )f
v
˜
M
. De plus avec les formules
de descente, il suffit de prouver que les inégalités suivantes :
– si v est une place archimédienne :
(5)
|I(˜ π v , λ, f v, ˜
M )| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N
– si v est une place p-adique
(6)
|I(˜ π v , λ, f v, ˜
M )| ≤ c N
donc une inégalité indépendante de λ
– si v est une place archimédienne
(7)
|I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v ))| ≤ c N (1 + |ν(π ∞ )| + |λ|)
−N
– si v est une place p-adique
(8)
|I(˜ π v , λ, , ˜
M (f v ))| ≤ c N
Pour les assertions (5) et (6), on commence par remarquer que puisque le
terme constant f v, ˜
M est à support compact, I(λ, ˜
π v , f v, ˜
M ) n’est autre que la trace
de ˜
π λ,v sur f v, ˜
M . L’assertion (5) est alors démontrée en 2.1 de [32] ; l’exponentielle
en la partie réelle de ν ∞ (π) est bornée ici puisque l’on a fixé les K ∞ -types possibles.
L’assertion (6) ; la trace est une somme de coefficients matriciels où on ne
considère que les K v -types sous-lesquels se transforment f v, ˜
M . Or ces K v -types
sont fixés et leur multiplicité dans ˜
π λ,v est bornée indépendamment de cette représentation. Donc le terme de gauche de (6) est borné par une constante dépendant