X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1231
X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces
On veut démontrer que (3) de X.7.2 (ou une variante) converge absolument. On
veut donc montrer
Proposition.
π
˜
M
iA ∗
˜
M
dλ |I(λ, π
˜
M , h
f
V )| converge où la somme porte sur les représentations discrètes (au sens de la formule des traces) de ˜
M (A F ), non ramifiées
hors de V et ayant des K V types dans un ensemble fixé a priori par le choix de f .
Comme on se ramène aux résultats de Müller sur le spectre discret de M (A F ),
on modifie l’énoncé. Pour toute représentation automorphe irréductible unitaire,
π M , de M (A F ) vérifiant :
∀γ ∈ ˜
G(A F ),
γ π M π M ⊗ ω
on fixe une ω-représentation de ˜
M (A F ) unitaire. On note A
2 [π] la somme des sousespaces des formes automorphes de carré intégrable sur M (A F ) isomorphes à π ; on
note m(π) := dim Hom M(AF ) (π, A
2 [π]). Cet espace A
2 [π] est une ω-représentation
de ˜
M (A F ) (cf. X.5.1) et on vérifie que pour tout f ∈ I( ˜
M (A))
(1)
| tr A 2 [π] (f )| = |z(˜ π)|| tr ˜
π(f )|,
avec z(˜ π) un nombre complexe vérifiant |z(˜ π)| ≤ m(π) : le z(˜ π) est la trace d’un
opérateur unitaire défini par un élément de ˜
M (F ) dans l’espace
Hom M(AF ) (π, A
2 (M (F )\M (A F )))
de dimension m(π) et la valeur absolue de ce nombre ne dépend pas du choix de
˜
π. On rappelle le résultat clé de [66] : il existe un entier k tel que
(2)
π
m(π)(1 + |ν(π ∞ )|)
−k
≤ ∞
converge, où la somme porte sur les représentations π incluses dans le spectre
discret de M (A F ), non ramifiées hors de V et ayant des K V -types dans un ensemble
fixé a priori. Ce résultat s’étend au spectre t-discret en suivant toujours [66],
comme on va l’expliquer ici. Le spectre t-discret de ˜
M (A F ) fait intervenir, plus
généralement (cf. X.5.1), les représentations dans
A
2 (U P (A F )L(F )A L \M (A F ))
où P est un sous-groupe parabolique de M de radical unipotent U P et de sousgroupe de Levi L. Comme on ne regarde que les représentations non ramifiées
hors de V , cela fixe dans ces induites uniquement la composante hors de V et
l’induite se décompose donc en au plus N V -représentations irréductibles où N V
est le produit du cardinal de V avec
sup
v∈V
| Norm M(Fv ) (L(F v ))/L(F v )|.
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X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces
On veut démontrer que (3) de X.7.2 (ou une variante) converge absolument. On
veut donc montrer
Proposition.
π
˜
M
iA ∗
˜
M
dλ |I(λ, π
˜
M , h
f
V )| converge où la somme porte sur les représentations discrètes (au sens de la formule des traces) de ˜
M (A F ), non ramifiées
hors de V et ayant des K V types dans un ensemble fixé a priori par le choix de f .
Comme on se ramène aux résultats de Müller sur le spectre discret de M (A F ),
on modifie l’énoncé. Pour toute représentation automorphe irréductible unitaire,
π M , de M (A F ) vérifiant :
∀γ ∈ ˜
G(A F ),
γ π M π M ⊗ ω
on fixe une ω-représentation de ˜
M (A F ) unitaire. On note A
2 [π] la somme des sousespaces des formes automorphes de carré intégrable sur M (A F ) isomorphes à π ; on
note m(π) := dim Hom M(AF ) (π, A
2 [π]). Cet espace A
2 [π] est une ω-représentation
de ˜
M (A F ) (cf. X.5.1) et on vérifie que pour tout f ∈ I( ˜
M (A))
(1)
| tr A 2 [π] (f )| = |z(˜ π)|| tr ˜
π(f )|,
avec z(˜ π) un nombre complexe vérifiant |z(˜ π)| ≤ m(π) : le z(˜ π) est la trace d’un
opérateur unitaire défini par un élément de ˜
M (F ) dans l’espace
Hom M(AF ) (π, A
2 (M (F )\M (A F )))
de dimension m(π) et la valeur absolue de ce nombre ne dépend pas du choix de
˜
π. On rappelle le résultat clé de [66] : il existe un entier k tel que
(2)
π
m(π)(1 + |ν(π ∞ )|)
−k
≤ ∞
converge, où la somme porte sur les représentations π incluses dans le spectre
discret de M (A F ), non ramifiées hors de V et ayant des K V -types dans un ensemble
fixé a priori. Ce résultat s’étend au spectre t-discret en suivant toujours [66],
comme on va l’expliquer ici. Le spectre t-discret de ˜
M (A F ) fait intervenir, plus
généralement (cf. X.5.1), les représentations dans
A
2 (U P (A F )L(F )A L \M (A F ))
où P est un sous-groupe parabolique de M de radical unipotent U P et de sousgroupe de Levi L. Comme on ne regarde que les représentations non ramifiées
hors de V , cela fixe dans ces induites uniquement la composante hors de V et
l’induite se décompose donc en au plus N V -représentations irréductibles où N V
est le produit du cardinal de V avec
sup
v∈V
| Norm M(Fv ) (L(F v ))/L(F v )|.