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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Proposition. Avec les hypothèses et notations du lemme précédent et celles de
X.7.1, pour tout ν, c
V
tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π
˜
G,E
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V )
Le lemme précédent donne l’égalité
(1)
I
˜
G
geo (ω, f V ) − I
˜
G,E
geo (ω, f V ) = xI
˜
M
geo (ω, h
f
V ).
On remplace ces distributions, écrites à l’aide du côté géométrique, par les distributions qui leur sont égales mais écrites à l’aide du côté spectral. On a vu en
X.5.11 que le terme de gauche vaut
(2)
I
˜
G
disc (ω, f V ) − I
˜
G,E
disc (ω, f V ).
Le terme de droite vaut xI
˜
M
disc (ω, h
f
V 1 ˜
K
˜
M,V ) car h
f
V est une somme finie de fonctions
cuspidales en deux places.
On fixe f V et ν et on a déjà vu qu’en fixant convenablement un multiplicateur
α, en remplaçant f V par f αm,V avec m ∈ N où α m est le convolé m fois de α, (2)
a une limite qui est la somme sur les caractères c
V de
iA ∗
˜
G
dλ
tr π
˜
G
disc,ν,λ (c
V )(f V 1 ˜
K V ) − tr π
˜
G,E
disc,ν,λ (c
V )(f V 1 ˜
K V )
où l’indice λ indique la tensorisation par le caractère λ de A ˜
G .
Quant à I
˜
M
disc (ω, h
f α m
V
1 ˜
K
˜
M ,V ) c’est la somme absolument convergente des coefficients de Fourier I
˜
M (π
˜
M
disc,νM (c
V
M ), 0, h
f α m
V
) calculés en X.7.1. On a vu en X.7.1
qu’un tel terme valait
(3)
iA ∗
˜
M
dλ ˆ
α
m (λ + ν M )I(π
˜
M
disc,νM (c
V ), λ, h
f
V ).
On sait, d’après [IX] 8.9, que la fonction h
f
V est K ∩M finie. Ainsi dans le calcul de
l’expression (3), grâce aux propriétés de semi-finitude de π
˜
M
disc , seuls interviennent
les caractères infinitésimaux de partie réelle bornée, la borne dépendant de K ∩M .
Ainsi, pour un bon choix de α (qui ne dépend que des K-types déterminés par f )
la limite quand m tend vers l’infini de ˆ
α
m (λ + ν M ) est 0 presque partout. On en
déduit que la limite de (3) quand m tend vers l’infini est nulle grâce à la propriété
de convergence absolue démontrée dans la proposition ci-dessous (cf. X.7.3).
On trouve que la limite quand m tend vers l’infini de I
˜
M
disc (ω, h
f
αm,V 1 ˜
K
˜
M,V )
est nulle. Ainsi, pour ν fixé, la somme sur c
V des termes écrits en (2) est nulle
pour toute fonction f V . Par inversion de Fourier sur iA
∗
˜
G
qui est dual de A ˜
G , on
en déduit :
c V
tr
π
˜
G
disc,ν (c
V ) − π
˜
G,E
ν (c
V )
(f V 1 ˜
K V ) = 0.
On en déduit l’égalité cherchée pour c
V fixé en utilisant X.5.4 (ii).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Proposition. Avec les hypothèses et notations du lemme précédent et celles de
X.7.1, pour tout ν, c
V
tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π
˜
G,E
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V )
Le lemme précédent donne l’égalité
(1)
I
˜
G
geo (ω, f V ) − I
˜
G,E
geo (ω, f V ) = xI
˜
M
geo (ω, h
f
V ).
On remplace ces distributions, écrites à l’aide du côté géométrique, par les distributions qui leur sont égales mais écrites à l’aide du côté spectral. On a vu en
X.5.11 que le terme de gauche vaut
(2)
I
˜
G
disc (ω, f V ) − I
˜
G,E
disc (ω, f V ).
Le terme de droite vaut xI
˜
M
disc (ω, h
f
V 1 ˜
K
˜
M,V ) car h
f
V est une somme finie de fonctions
cuspidales en deux places.
On fixe f V et ν et on a déjà vu qu’en fixant convenablement un multiplicateur
α, en remplaçant f V par f αm,V avec m ∈ N où α m est le convolé m fois de α, (2)
a une limite qui est la somme sur les caractères c
V de
iA ∗
˜
G
dλ
tr π
˜
G
disc,ν,λ (c
V )(f V 1 ˜
K V ) − tr π
˜
G,E
disc,ν,λ (c
V )(f V 1 ˜
K V )
où l’indice λ indique la tensorisation par le caractère λ de A ˜
G .
Quant à I
˜
M
disc (ω, h
f α m
V
1 ˜
K
˜
M ,V ) c’est la somme absolument convergente des coefficients de Fourier I
˜
M (π
˜
M
disc,νM (c
V
M ), 0, h
f α m
V
) calculés en X.7.1. On a vu en X.7.1
qu’un tel terme valait
(3)
iA ∗
˜
M
dλ ˆ
α
m (λ + ν M )I(π
˜
M
disc,νM (c
V ), λ, h
f
V ).
On sait, d’après [IX] 8.9, que la fonction h
f
V est K ∩M finie. Ainsi dans le calcul de
l’expression (3), grâce aux propriétés de semi-finitude de π
˜
M
disc , seuls interviennent
les caractères infinitésimaux de partie réelle bornée, la borne dépendant de K ∩M .
Ainsi, pour un bon choix de α (qui ne dépend que des K-types déterminés par f )
la limite quand m tend vers l’infini de ˆ
α
m (λ + ν M ) est 0 presque partout. On en
déduit que la limite de (3) quand m tend vers l’infini est nulle grâce à la propriété
de convergence absolue démontrée dans la proposition ci-dessous (cf. X.7.3).
On trouve que la limite quand m tend vers l’infini de I
˜
M
disc (ω, h
f
αm,V 1 ˜
K
˜
M,V )
est nulle. Ainsi, pour ν fixé, la somme sur c
V des termes écrits en (2) est nulle
pour toute fonction f V . Par inversion de Fourier sur iA
∗
˜
G
qui est dual de A ˜
G , on
en déduit :
c V
tr
π
˜
G
disc,ν (c
V ) − π
˜
G,E
ν (c
V )
(f V 1 ˜
K V ) = 0.
On en déduit l’égalité cherchée pour c
V fixé en utilisant X.5.4 (ii).