X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1229
On reprend les notations de [VI] 6.11. Le terme de gauche de l’énoncé est
une somme sur les espaces de Levi ˜
L de ˜
G des termes :
O
˜
L
I
˜
G
˜
L
(A
˜
L (O
˜
L , V, ω), f)
−
L ∈E( ˜
L,ω,V )
i( ˜
L, L
)
O L ∈ ˜
L
ss (FV )/ st-conj;O L →O
˜
L
I
˜
G,E
˜
L
(L
, SA
L
(O
L
), V, f).
C’est la différence entre les deux valeurs de X de [VI] 6.11. On sait que les termes
correspondants à ˜
L = ˜
G sont nuls, d’après [VII] 3.3 sauf (éventuellement) pour les
éléments exceptionnels où le résultat est encore à montrer. Mais l’hypothèse que
f V est nulle près de ces éléments en les places non-archimédiennes assure aussi la
nullité de ces termes.
Supposons que ˜
L soit un espace de Levi propre de ˜
G ; par récurrence on
sait que A
˜
L (O
˜
L , V, ω) est le transfert de
L i( ˜
L, L
)SA
L
(O
L
, V ) ; le terme écrit
est donc une combinaison linéaire de distributions de la forme I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f V ) −
I
˜
G,E
˜
L
(ω, γ, f V ) pour γ des éléments rationnels de ˜
L pris à conjugaison près. Par
hypothèse de récurrence et les formules de descente, il ne reste qu’une combinaison
linéaire de termes, de la forme à un scalaire près
(2)
v0∈V
I
˜
G
˜
L
(ω v0 , γ v0 , f v0 ) − I
˜
G,E
˜
L
(ω v0 , γ v0 , f v0 )
v∈V −{v0}
I
˜
L
˜
L
ω v , γ v , f v, ˜
L
.
En utilisant les propriétés de cuspidalité de la fonction f V en les places v 1 et v 2 un
tel terme est certainement nul si ˜
L ne contient pas (à conjugaison près) ˜
M ; il est
donc ici important de sommer sur les classes de conjugaison d’espaces de Levi et
non pas sur les espaces de Levi semi-standard, d’où des coefficients qu’il n’est pas
important de calculer. Si ˜
L contient strictement ˜
M , les hypothèses de récurrence
donnent la stabilisation locale géométrique pour les éléments semi-simples réguliers
et on a donc cette stabilisation géométrique pour tout élément grâce à [V] 1.11.
Finalement il ne reste que les termes avec ˜
L = ˜
M ; en utilisant les propriétés
de descente, la première somme ne porte que sur v 0 ∈ V
(où V
a été défini avant
l’énoncé). Par cuspidalité, il reste encore uniquement les termes correspondant
à des éléments semi-simples réguliers elliptiques de ˜
M . Or (2) n’est autre que
I
˜
M
˜
M
(ω, γ V , h
f
V ). En revenant à A
˜
M (O
˜
M , V, ω), on voit que le terme de gauche de
l’énoncé est exactement
O
˜
M
I
˜
M (A
˜
M (O
˜
M , V, ω), h
f
V ).
Maintenant on utilise les propriétés de cuspidalité de h
f
V pour vérifier que ceci est
exactement I
˜
M
geo (ω, V, h
f
V ).
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On reprend les notations de [VI] 6.11. Le terme de gauche de l’énoncé est
une somme sur les espaces de Levi ˜
L de ˜
G des termes :
O
˜
L
I
˜
G
˜
L
(A
˜
L (O
˜
L , V, ω), f)
−
L ∈E( ˜
L,ω,V )
i( ˜
L, L
)
O L ∈ ˜
L
ss (FV )/ st-conj;O L →O
˜
L
I
˜
G,E
˜
L
(L
, SA
L
(O
L
), V, f).
C’est la différence entre les deux valeurs de X de [VI] 6.11. On sait que les termes
correspondants à ˜
L = ˜
G sont nuls, d’après [VII] 3.3 sauf (éventuellement) pour les
éléments exceptionnels où le résultat est encore à montrer. Mais l’hypothèse que
f V est nulle près de ces éléments en les places non-archimédiennes assure aussi la
nullité de ces termes.
Supposons que ˜
L soit un espace de Levi propre de ˜
G ; par récurrence on
sait que A
˜
L (O
˜
L , V, ω) est le transfert de
L i( ˜
L, L
)SA
L
(O
L
, V ) ; le terme écrit
est donc une combinaison linéaire de distributions de la forme I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f V ) −
I
˜
G,E
˜
L
(ω, γ, f V ) pour γ des éléments rationnels de ˜
L pris à conjugaison près. Par
hypothèse de récurrence et les formules de descente, il ne reste qu’une combinaison
linéaire de termes, de la forme à un scalaire près
(2)
v0∈V
I
˜
G
˜
L
(ω v0 , γ v0 , f v0 ) − I
˜
G,E
˜
L
(ω v0 , γ v0 , f v0 )
v∈V −{v0}
I
˜
L
˜
L
ω v , γ v , f v, ˜
L
.
En utilisant les propriétés de cuspidalité de la fonction f V en les places v 1 et v 2 un
tel terme est certainement nul si ˜
L ne contient pas (à conjugaison près) ˜
M ; il est
donc ici important de sommer sur les classes de conjugaison d’espaces de Levi et
non pas sur les espaces de Levi semi-standard, d’où des coefficients qu’il n’est pas
important de calculer. Si ˜
L contient strictement ˜
M , les hypothèses de récurrence
donnent la stabilisation locale géométrique pour les éléments semi-simples réguliers
et on a donc cette stabilisation géométrique pour tout élément grâce à [V] 1.11.
Finalement il ne reste que les termes avec ˜
L = ˜
M ; en utilisant les propriétés
de descente, la première somme ne porte que sur v 0 ∈ V
(où V
a été défini avant
l’énoncé). Par cuspidalité, il reste encore uniquement les termes correspondant
à des éléments semi-simples réguliers elliptiques de ˜
M . Or (2) n’est autre que
I
˜
M
˜
M
(ω, γ V , h
f
V ). En revenant à A
˜
M (O
˜
M , V, ω), on voit que le terme de gauche de
l’énoncé est exactement
O
˜
M
I
˜
M (A
˜
M (O
˜
M , V, ω), h
f
V ).
Maintenant on utilise les propriétés de cuspidalité de h
f
V pour vérifier que ceci est
exactement I
˜
M
geo (ω, V, h
f
V ).