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Chapitre X. Stabilisation spectrale
C’est un ensemble fini. Si la composante de Paley–Wiener ne coupe pas Π χ λ alors
M χ λ F = F d’après le (i) de ce lemme. Si l’intersection est non vide, alors M χ λ F
contient les éléments de F nuls à un ordre suffisant, notons le N , en les points
de l’intersection ; c’est le (ii) du lemme. Soit φ un élément de F et α un multiplicateur ; si f v∞ ∈ I( ˜
G(F v∞ ), ω) correspond à φ alors f v∞,α correspond au produit
ˇ
αφ où ˇ
αφ en une représentation π est le produit de φ(π) avec la valeur de ˇ
α sur
le caractère infinitésimal de π. On peut approximer la restriction de ˇ
α à Π χσ ∩ F
en utilisant le centre de l’algèbre enveloppante, c’est à dire qu’il existe z α dans ce
centre tel que ˇ
α − z α s’annule en l’ordre au moins N en le caractère infinitésimal
χ λ . Et alors
q(f v∞,α ) = q(z α f ) = z α (ν πV + λ)q(f ) = ˇ
α(ν πV + λ)q(f ),
ce qui est l’assertion cherchée. Et le corollaire s’en déduit.
X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions
Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) ; on suppose que pour tout v ∈ V , f v est nulle près des
éléments exceptionnels, s’il y en a et si v est p-adique, et on suppose qu’il y a au
moins une place v pour laquelle f v est à support dans les éléments réguliers (c’est
une condition qui vient du problème technique suivant : tant que l’on ne sait pas
stabiliser les termes locaux de la formule des traces, les termes I
˜
G,E
˜
M
(γ v , v v ) ne sont
pas définis pour γ v un élément singulier). On pose pour une telle fonction f V :
h
f
V :=
v∈V
˜
G
˜
M,v
(f v )
v ∈V −{v}
f v , ˜
M .
L’ensemble V contient au moins deux places (il contient V ram qui contient les
places divisant 2, 3 et 5) et on fixe v 1 , v 2 ∈ V . On suppose que les fonctions f V
considérées sont ˜
M -cuspidales en v 1 et v 2 . Cela veut dire que, pour i = 1, 2 et
pour tout sous-espace de Levi ˜
L
vi de ˜
G défini sur F vi , on a f vi, ˜
L v i = 0 si ˜
L
vi ne
contient pas un conjugué de ˜
M . A fortiori f vi, ˜
M est cuspidale pour i = 1, 2. Ainsi
h
f
V est somme de fonctions cuspidales en au moins deux places ; on rappelle que
˜
G
˜
M,v
est une application de I( ˜
G(F v ), ω) dans I cusp,ac ( ˜
M (F v ), ω). On rappelle aussi
que la première somme sur v ne porte en fait que sur les éléments de v ∈ V tel
que A ˜
M = A ˜
M,v car sinon on sait déjà avec les formules de descente que
˜
G
˜
M,v
est une application identiquement nulle. Notons V
l’ensemble des places de F
appartenant à V où l’égalité A ˜
M = A ˜
M,v est satisfaite.
Lemme. Sous l’hypothèse de récurrence de X.7.1, on a pour tout f V comme ce qui
précède l’énoncé, avec les notations des paragraphes précédents :
I
˜
G
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) − I
˜
G,E
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) = xI
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K M,V ),
où x est un scalaire non nul explicite (indépendant de f V ).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
C’est un ensemble fini. Si la composante de Paley–Wiener ne coupe pas Π χ λ alors
M χ λ F = F d’après le (i) de ce lemme. Si l’intersection est non vide, alors M χ λ F
contient les éléments de F nuls à un ordre suffisant, notons le N , en les points
de l’intersection ; c’est le (ii) du lemme. Soit φ un élément de F et α un multiplicateur ; si f v∞ ∈ I( ˜
G(F v∞ ), ω) correspond à φ alors f v∞,α correspond au produit
ˇ
αφ où ˇ
αφ en une représentation π est le produit de φ(π) avec la valeur de ˇ
α sur
le caractère infinitésimal de π. On peut approximer la restriction de ˇ
α à Π χσ ∩ F
en utilisant le centre de l’algèbre enveloppante, c’est à dire qu’il existe z α dans ce
centre tel que ˇ
α − z α s’annule en l’ordre au moins N en le caractère infinitésimal
χ λ . Et alors
q(f v∞,α ) = q(z α f ) = z α (ν πV + λ)q(f ) = ˇ
α(ν πV + λ)q(f ),
ce qui est l’assertion cherchée. Et le corollaire s’en déduit.
X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions
Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) ; on suppose que pour tout v ∈ V , f v est nulle près des
éléments exceptionnels, s’il y en a et si v est p-adique, et on suppose qu’il y a au
moins une place v pour laquelle f v est à support dans les éléments réguliers (c’est
une condition qui vient du problème technique suivant : tant que l’on ne sait pas
stabiliser les termes locaux de la formule des traces, les termes I
˜
G,E
˜
M
(γ v , v v ) ne sont
pas définis pour γ v un élément singulier). On pose pour une telle fonction f V :
h
f
V :=
v∈V
˜
G
˜
M,v
(f v )
v ∈V −{v}
f v , ˜
M .
L’ensemble V contient au moins deux places (il contient V ram qui contient les
places divisant 2, 3 et 5) et on fixe v 1 , v 2 ∈ V . On suppose que les fonctions f V
considérées sont ˜
M -cuspidales en v 1 et v 2 . Cela veut dire que, pour i = 1, 2 et
pour tout sous-espace de Levi ˜
L
vi de ˜
G défini sur F vi , on a f vi, ˜
L v i = 0 si ˜
L
vi ne
contient pas un conjugué de ˜
M . A fortiori f vi, ˜
M est cuspidale pour i = 1, 2. Ainsi
h
f
V est somme de fonctions cuspidales en au moins deux places ; on rappelle que
˜
G
˜
M,v
est une application de I( ˜
G(F v ), ω) dans I cusp,ac ( ˜
M (F v ), ω). On rappelle aussi
que la première somme sur v ne porte en fait que sur les éléments de v ∈ V tel
que A ˜
M = A ˜
M,v car sinon on sait déjà avec les formules de descente que
˜
G
˜
M,v
est une application identiquement nulle. Notons V
l’ensemble des places de F
appartenant à V où l’égalité A ˜
M = A ˜
M,v est satisfaite.
Lemme. Sous l’hypothèse de récurrence de X.7.1, on a pour tout f V comme ce qui
précède l’énoncé, avec les notations des paragraphes précédents :
I
˜
G
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) − I
˜
G,E
geo (ω, f V 1 ˜
K V ) = xI
˜
M
geo (ω, h
f
V 1 ˜
K M,V ),
où x est un scalaire non nul explicite (indépendant de f V ).