X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1227
En v 0 , il existe encore, (cf. le début de la preuve de [IX], 8.9) une fonction
méromorphe de λ v0 ∈ A
∗
˜
M (Fv 0 )
, notée I
˜
M (ρ v0 , λ v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )) telle que l’on ait
l’analogue de (2) pour ρ v0 une représentation tempérée de ˜
M (F v0 ), c’est-à-dire
I
˜
M (ρ v0 , X v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )) =
iA ∗
˜
M (Fv 0 )
dλ v0 I
˜
M (ρ v0 , λ v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )).
Et si v 0 est une place archimédienne, remplacer f par zf avec z dans le centre de
l’algèbre enveloppante de ˜
G(F v0 ) multiplie par la fonction méromorphe de λ v0 par
z(μ ρv 0 + λ v0 ) (si ρ v0 a un caractère infinitésimal, μ ρv 0 ) d’après la même référence
dans le cas où v 0 est une place archimédienne.
Dans le cas où v est une place archimédienne différente de v 0 la transformation sous le centre de l’algèbre enveloppante est évidemment complètement claire.
Puisque l’on peut remplacer π V par π V,v0 pour calculer I
˜
M (π, X, h
f (v 0 )), on
peut réaliser cette fonction de X comme transformée de Fourier de la fonction de
λ ∈ A
∗
˜
M
qui vaut en λ (cf. X.4.6 appliqué à ˜
G = ˜
M ),
I(ρ v0 , λ, , ˜
M,v0 (f v0 ))
v =v0
I(ρ v , λ, f v ),
où on a écrit π V,v0 = ⊗ v∈V ρ v . Cela donne le lemme.
Corollaire. Pour tout multiplicateur α de ˜
G, on a l’égalité
I
˜
M (π V , X, h
fα
v0 ) =
iA ∗
˜
M
dλ ˆ
α(ν πV + λ)I
˜
M (λ, h
f
v0 )e
−λ(X) .
La famille de formes linéaires (dépendant méromorphiquement de λ ∈ A
∗
˜
M
)
λ ∈ A
∗
˜
M
→ (λ, f V ) := I
˜
M (λ, h
f (v 0 ))
se voit sur l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur l’espace des ω-représentations tempérées de ˜
G(F V ) ; ces applications linéaires, f V → (λ, f V ), vérifient
(λ, z.f V ) = z(ν πV + λ)(λ, f V ).
Fixons λ telle que la forme linéaire (λ, f V ) soit définie. C’est une forme linéaire sur I( ˜
G(F V ), ω)/M χ λ I( ˜
G(F V ), ω), où M χ λ est l’idéal maximal du centre
de l’algèbre enveloppante correspondant au caractère infinitésimal ν πV + λ. Soit q
l’application naturelle de I( ˜
G(F V ), ω) dans ce quotient et on va montrer l’assertion : pour tout α, f V comme ci-dessus, q(f V,α ) = ˇ
α(ν πV + λ)q(f V ).
Pour démontrer cette assertion, il suffit de le faire pour f v∞ dans une composante de Paley–Wiener. On fixe donc une telle composante que l’on note F et
on utilise le lemme de [IV] 2.5 de la façon suivante. On note Π χ λ l’ensemble des
représentations induites de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de
˜
G(F v∞ ) ayant même caractère infinitésimal que l’induite de π ∞ ⊗ λ de ˜
M à ˜
G.
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En v 0 , il existe encore, (cf. le début de la preuve de [IX], 8.9) une fonction
méromorphe de λ v0 ∈ A
∗
˜
M (Fv 0 )
, notée I
˜
M (ρ v0 , λ v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )) telle que l’on ait
l’analogue de (2) pour ρ v0 une représentation tempérée de ˜
M (F v0 ), c’est-à-dire
I
˜
M (ρ v0 , X v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )) =
iA ∗
˜
M (Fv 0 )
dλ v0 I
˜
M (ρ v0 , λ v0 , , ˜
M,v0 (f v0 )).
Et si v 0 est une place archimédienne, remplacer f par zf avec z dans le centre de
l’algèbre enveloppante de ˜
G(F v0 ) multiplie par la fonction méromorphe de λ v0 par
z(μ ρv 0 + λ v0 ) (si ρ v0 a un caractère infinitésimal, μ ρv 0 ) d’après la même référence
dans le cas où v 0 est une place archimédienne.
Dans le cas où v est une place archimédienne différente de v 0 la transformation sous le centre de l’algèbre enveloppante est évidemment complètement claire.
Puisque l’on peut remplacer π V par π V,v0 pour calculer I
˜
M (π, X, h
f (v 0 )), on
peut réaliser cette fonction de X comme transformée de Fourier de la fonction de
λ ∈ A
∗
˜
M
qui vaut en λ (cf. X.4.6 appliqué à ˜
G = ˜
M ),
I(ρ v0 , λ, , ˜
M,v0 (f v0 ))
v =v0
I(ρ v , λ, f v ),
où on a écrit π V,v0 = ⊗ v∈V ρ v . Cela donne le lemme.
Corollaire. Pour tout multiplicateur α de ˜
G, on a l’égalité
I
˜
M (π V , X, h
fα
v0 ) =
iA ∗
˜
M
dλ ˆ
α(ν πV + λ)I
˜
M (λ, h
f
v0 )e
−λ(X) .
La famille de formes linéaires (dépendant méromorphiquement de λ ∈ A
∗
˜
M
)
λ ∈ A
∗
˜
M
→ (λ, f V ) := I
˜
M (λ, h
f (v 0 ))
se voit sur l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur l’espace des ω-représentations tempérées de ˜
G(F V ) ; ces applications linéaires, f V → (λ, f V ), vérifient
(λ, z.f V ) = z(ν πV + λ)(λ, f V ).
Fixons λ telle que la forme linéaire (λ, f V ) soit définie. C’est une forme linéaire sur I( ˜
G(F V ), ω)/M χ λ I( ˜
G(F V ), ω), où M χ λ est l’idéal maximal du centre
de l’algèbre enveloppante correspondant au caractère infinitésimal ν πV + λ. Soit q
l’application naturelle de I( ˜
G(F V ), ω) dans ce quotient et on va montrer l’assertion : pour tout α, f V comme ci-dessus, q(f V,α ) = ˇ
α(ν πV + λ)q(f V ).
Pour démontrer cette assertion, il suffit de le faire pour f v∞ dans une composante de Paley–Wiener. On fixe donc une telle composante que l’on note F et
on utilise le lemme de [IV] 2.5 de la façon suivante. On note Π χ λ l’ensemble des
représentations induites de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de
˜
G(F v∞ ) ayant même caractère infinitésimal que l’induite de π ∞ ⊗ λ de ˜
M à ˜
G.