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Chapitre X. Stabilisation spectrale
un peu expliciter pour pouvoir contrôler l’action des multiplicateurs de ˜
G agissant
sur f V .
Lemme. Il existe une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M
, notée I
˜
M (λ, h
f (v 0 )) à décroissance rapide quand on restreint cette fonction à l’axe des λ unitaires et telle
que
I
˜
M (π V , X, h
f (v 0 )) =
iA ∗
˜
M
dλ I
˜
M (λ, h
f (v 0 ))e
−λ(X) .
De plus pour tout élément z du centre de l’algèbre enveloppante de G(F ∞ ), on a :
I
˜
M (λ, h
z.f (v 0 )) = z(μ π + λ)I
˜
M (λ, h
f (v 0 )).
On note π V,v0 l’unique représentation de ˜
M (F V ), elliptique (modulo le centre)
en la place v 0 et qui a même trace que π V sur toutes les fonctions dans I( ˜
M (F V ), ω)
cuspidales en la place v 0 . Cela revient à décomposer dans le groupe de Grothendieck (complexifié) en la place v 0 suivant la base formée par les induites de représentations elliptiques et en enlevant toutes les induites propres. Montrons que
I
˜
M (π V , X, h
f (v 0 )) = I
˜
M (π V,v0 , X, h
f (v 0 ));
on sait que les intégrales orbitales de h
f (v 0 ) sont nulles en les points de ˜
M (F V )
dont la composante en la place v 0 est conjuguée d’un élément non elliptique de
˜
M (F v0 ) (cf. [VIII] 4.4 et [IX] 8.9 (ii)). Donc le seul problème est que h
f (v 0 ) n’a
pas dans ses propriétés d’être à support compact. Soit b une fonction à support
compact sur A ˜
M qui vaut 1 en X. On voit b comme une fonction sur ˜
M (F V ) et
le produit bh
f (v 0 ) est maintenant à support compact. Ce produit vérifie toujours
les propriétés de nullité de certaines intégrales orbitales au même titre que h
f (v 0 ).
D’où
I
˜
M (π V , X, bh
f (v 0 )) = I
˜
M (π V,v0 , X, bh
f (v 0 ));
mais aussi
I
˜
M (π V , X, h
f (v 0 )) = I
˜
M (π V , X, bh
f (v 0 ))
et
I
˜
M (π V,v0 , X, h
f (v 0 )) = I
˜
M (π V,v0 , X, bh
f (v 0 )),
d’où le résultat annoncé.
Fixons v ∈ V ; si v = v 0 , pour toute représentation ρ v de ˜
M (F v ) et pour tout
X v ∈ A ˜
M (Fv) , on a
(2)
I
˜
M (ρ v , X v , f v, ˜
M ) =
iA ∗
˜
M (Fv )
dλ v I
˜
M (ρ v , λ v , f v ),
où I
˜
M (ρ v , λ v , f v ) = tr ind(ρ v⊗λv )(f v )e
−λv (Xv ) .