X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique
1225
On a évidemment
tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1 K V )
=
ξ(v )
tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1
ξ(v
)
K v 1 K V −{v } ),
où la somme porte sur les caractères de G (F v )/G(F v ). On a vu en X.6.2 que
ξ(v
) est nécessairement non ramifié pour réellement intervenir. Par le lemme précédent on sait que ξ(V )ξ(v
) est la restriction à G (F V ∪{v } ) d’un caractère dans
C et comme V est suffisamment grand pour que (1) soit satisfait, ce caractère est
uniquement déterminé par ξ(V ) et vaut donc ξ. D’où la proposition.
X.7 Fin de la stabilisation locale géométrique
X.7.1 Mise en place des objets
Hypothèse de récurrence. On suppose que l’hypothèse locale géométrique de récurrence de 3.5 est satisfaite pour tout espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M ,
c’est-à-dire que pour tout ˜
L contenant strictement ˜
M , pour toute place v ∈ V , pour
tout f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω) et pour tout γ ∈ ˜
L(F v ), on a I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f v ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f v ).
On suppose aussi que pour toute place v ∈ V et pour toute paire ( ˜
L, ˜
L
) où
˜
L
est un espace de Levi propre de ˜
G contenant ˜
L, on a la stabilisation locale
géométrique c’est-à-dire que pour tout f v ∈ I( ˜
L
(F v ), ω) et pour tout γ ∈ ˜
L(F v ),
on a I
˜
L
˜
L
(γ, ω, f v ) = I
˜
L
,E
˜
L
(γ, f v ).
On suppose aussi que l’hypothèse spectrale globale de récurrence est satisfaites, c’est-à-dire qu’avec les notations de X.5.10, pour tout sous-espace de Levi
propre, ˜
L de ˜
G, et pour tout f V ∈ I( ˜
L(F V ), ω), on a tr π
˜
L
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V, ˜
L ) =
tr π
˜
L,E
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V, ˜
L ).
Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) et fixons v 0 ∈ V . On reprend les constructions de
l’application ˜
M,v0 donnée en [VIII] 4.4 pour v 0 , p-adique et dans le paragraphe 8
de [IX] si v 0 est une place archimédienne ; cette application envoie l’ensemble des
fonctions sur ˜
G(F v ) nulles près des éléments exceptionnels de ˜
G(F v0 ), s’il y en a
et si v 0 est p-adique, dans I ac ( ˜
M (F v0 ), ω). On pose, pour de telles fonctions f V :
h
f (v 0 ) := ˜
M,v 0
(f v0 )
v∈V,v =v0
f v, ˜
M .
C’est un élément de I ac ( ˜
M (F V ), ω). Soit π V une représentation de longueur finie
de ˜
M (F V ) triviale sur A ˜
M et ayant un caractère infinitésimal, noté μ π . On suppose
en plus que π V est unitaire.
Pour X ∈ A ˜
M , on a défini I
˜
M (π V , X, h
f (v 0 )), ce qui utilise l’unitarité de
π V . On va montrer que c’est un coefficient de Fourier d’une fonction que l’on va
1225
On a évidemment
tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1 K V )
=
ξ(v )
tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1
ξ(v
)
K v 1 K V −{v } ),
où la somme porte sur les caractères de G (F v )/G(F v ). On a vu en X.6.2 que
ξ(v
) est nécessairement non ramifié pour réellement intervenir. Par le lemme précédent on sait que ξ(V )ξ(v
) est la restriction à G (F V ∪{v } ) d’un caractère dans
C et comme V est suffisamment grand pour que (1) soit satisfait, ce caractère est
uniquement déterminé par ξ(V ) et vaut donc ξ. D’où la proposition.
X.7 Fin de la stabilisation locale géométrique
X.7.1 Mise en place des objets
Hypothèse de récurrence. On suppose que l’hypothèse locale géométrique de récurrence de 3.5 est satisfaite pour tout espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M ,
c’est-à-dire que pour tout ˜
L contenant strictement ˜
M , pour toute place v ∈ V , pour
tout f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω) et pour tout γ ∈ ˜
L(F v ), on a I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f v ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f v ).
On suppose aussi que pour toute place v ∈ V et pour toute paire ( ˜
L, ˜
L
) où
˜
L
est un espace de Levi propre de ˜
G contenant ˜
L, on a la stabilisation locale
géométrique c’est-à-dire que pour tout f v ∈ I( ˜
L
(F v ), ω) et pour tout γ ∈ ˜
L(F v ),
on a I
˜
L
˜
L
(γ, ω, f v ) = I
˜
L
,E
˜
L
(γ, f v ).
On suppose aussi que l’hypothèse spectrale globale de récurrence est satisfaites, c’est-à-dire qu’avec les notations de X.5.10, pour tout sous-espace de Levi
propre, ˜
L de ˜
G, et pour tout f V ∈ I( ˜
L(F V ), ω), on a tr π
˜
L
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V, ˜
L ) =
tr π
˜
L,E
disc,ν (c
V )(f V 1 ˜
K V, ˜
L ).
Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) et fixons v 0 ∈ V . On reprend les constructions de
l’application ˜
M,v0 donnée en [VIII] 4.4 pour v 0 , p-adique et dans le paragraphe 8
de [IX] si v 0 est une place archimédienne ; cette application envoie l’ensemble des
fonctions sur ˜
G(F v ) nulles près des éléments exceptionnels de ˜
G(F v0 ), s’il y en a
et si v 0 est p-adique, dans I ac ( ˜
M (F v0 ), ω). On pose, pour de telles fonctions f V :
h
f (v 0 ) := ˜
M,v 0
(f v0 )
v∈V,v =v0
f v, ˜
M .
C’est un élément de I ac ( ˜
M (F V ), ω). Soit π V une représentation de longueur finie
de ˜
M (F V ) triviale sur A ˜
M et ayant un caractère infinitésimal, noté μ π . On suppose
en plus que π V est unitaire.
Pour X ∈ A ˜
M , on a défini I
˜
M (π V , X, h
f (v 0 )), ce qui utilise l’unitarité de
π V . On va montrer que c’est un coefficient de Fourier d’une fonction que l’on va