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Chapitre X. Stabilisation spectrale
On décompose 1 K V −V suivant les caractères nécessairement non ramifiés du
groupe G (F V −V ) et il suffit évidemment de démontrer la proposition pour V
et
le produit de ξ(V ) avec l’un de ces caractères. On suppose donc que V est tel que
(1) ci-dessus soit vérifié pour V
= V . Pour démontrer la proposition, on doit donc
montrer que ξ V est trivial sur G (F )K
V
∩ G(F V ). Soit g ,V dans cet intersection.
On calcule
g f
ξ(V ) = ξ(V )(g )
−1 f
ξ(V ) . On écrit aussi g ,V g
V = g F où g F ∈ G (F )
et g
V
∈ K
V
. Le groupe G (F ) opère directement sur l’espace de la représentation
π
˜
G,V
disc,ν à une double difficulté près : la partie t-discrète mais non discrète décrite en
X.5.1 fait intervenir des induites, un élément de G (F ) transforme cette induite en
une autre induite mais les semi-simplifiés sont les mêmes. L’autre difficulté vient
du fait que les espaces de formes automorphes considérés sont K ∞ -finis et G (F )
ne conserve pas cette finitude puisque les éléments de G (F ) remplacent K ∞ en un
de ses conjugués sous G(F ∞ ) (les compacts maximaux sont conjugués en les places
archimédiennes) ; mais on peut élargir l’espace des représentations automorphes
considérées pour qu’il soit conservé par l’action de G (F ) et ensuite on ne calcule
la trace que sur les éléments de I( ˜
G(F ∞ ), ω), or cet espace est en fait indépendant
du choix de K ∞ puisque les différents choix sont conjugués.
On remarque aussi que l’action de G (F ) préserve le caractère infinitésimal.
On fait agir un élément g F = g ,V g
V avec g
V dans ˜
K
V ainsi g F préserve la non
ramification hors de V ram . Et pour toute fonction f ∈ I( ˜
G(A F ), ω) et pour tout
g F ∈ G (F ) comme précédemment, on a
tr π
˜
G,V
disc,ν (
gF f ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (f ).
Les éléments de K
V
agissent trivialement sur f V 1 K V et on en déduit donc que
l’action de
ξ(V )(g ,V )
−1 tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (
g ,V f
ξ(V )
V
1 K V )
= tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V )
ce qui force ξ(V )(g ,V ) = 1 comme voulu.
On fixe V suffisamment grand pour que (1) soit satisfait. Soit
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) et ξ ∈ C.
On note ξ(V ) la restriction de ξ à G (F V ).
Proposition. Avec ces hypothèses et notations, on a pour toute place v
de F non
dans V :
tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1
ξ v
K v 1 K V −{v } )
Chapitre X. Stabilisation spectrale
On décompose 1 K V −V suivant les caractères nécessairement non ramifiés du
groupe G (F V −V ) et il suffit évidemment de démontrer la proposition pour V
et
le produit de ξ(V ) avec l’un de ces caractères. On suppose donc que V est tel que
(1) ci-dessus soit vérifié pour V
= V . Pour démontrer la proposition, on doit donc
montrer que ξ V est trivial sur G (F )K
V
∩ G(F V ). Soit g ,V dans cet intersection.
On calcule
g f
ξ(V ) = ξ(V )(g )
−1 f
ξ(V ) . On écrit aussi g ,V g
V = g F où g F ∈ G (F )
et g
V
∈ K
V
. Le groupe G (F ) opère directement sur l’espace de la représentation
π
˜
G,V
disc,ν à une double difficulté près : la partie t-discrète mais non discrète décrite en
X.5.1 fait intervenir des induites, un élément de G (F ) transforme cette induite en
une autre induite mais les semi-simplifiés sont les mêmes. L’autre difficulté vient
du fait que les espaces de formes automorphes considérés sont K ∞ -finis et G (F )
ne conserve pas cette finitude puisque les éléments de G (F ) remplacent K ∞ en un
de ses conjugués sous G(F ∞ ) (les compacts maximaux sont conjugués en les places
archimédiennes) ; mais on peut élargir l’espace des représentations automorphes
considérées pour qu’il soit conservé par l’action de G (F ) et ensuite on ne calcule
la trace que sur les éléments de I( ˜
G(F ∞ ), ω), or cet espace est en fait indépendant
du choix de K ∞ puisque les différents choix sont conjugués.
On remarque aussi que l’action de G (F ) préserve le caractère infinitésimal.
On fait agir un élément g F = g ,V g
V avec g
V dans ˜
K
V ainsi g F préserve la non
ramification hors de V ram . Et pour toute fonction f ∈ I( ˜
G(A F ), ω) et pour tout
g F ∈ G (F ) comme précédemment, on a
tr π
˜
G,V
disc,ν (
gF f ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (f ).
Les éléments de K
V
agissent trivialement sur f V 1 K V et on en déduit donc que
l’action de
ξ(V )(g ,V )
−1 tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (
g ,V f
ξ(V )
V
1 K V )
= tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V )
ce qui force ξ(V )(g ,V ) = 1 comme voulu.
On fixe V suffisamment grand pour que (1) soit satisfait. Soit
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) et ξ ∈ C.
On note ξ(V ) la restriction de ξ à G (F V ).
Proposition. Avec ces hypothèses et notations, on a pour toute place v
de F non
dans V :
tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V ∪{v
}
disc,ν
(f
ξ(V )
V
1
ξ v
K v 1 K V −{v } )