X.6. Digression, automorphismes de la situation
1223
(i) est une reformulation du (ii) de la proposition de [VII] 2.1 appliqué à
˜
M = ˜
G. En effet en appliquant cette proposition à ˜
M = ˜
G on voit que le transfert
de la fonction caractéristique de ˜
K v est nulle pour tout espace endoscopique qui
n’est pas non ramifié. D’où avec le (i) du lemme de X.6.1 pour que 1
ξ
˜
Kv
soit non
nul il faut que ξ = ω
G
pour une donnée endoscopique non ramifiée G
. Pour une
telle donnée ω
G
est non ramifié d’après [VII] 2.1 (3).
L’assertion (ii) dans le cas non tordu est conséquence du (ii) du lemme 6.1.
Dans le cas tordu, on suppose que ˜
G(F v ) a des classes de conjugaison exceptionnelles. D’après [III] 6.3, cela entraîne que ˜
G provient par changement de base (ce
qui est inoffensif) d’un espace pour lequel les hypothèses du (iii) du lemme 6.1 sont
satisfaites. Cela entraîne de plus que G est simplement connexe. Alors l’assertion
résulte de cette assertion (iii) du lemme 6.1.
X.6.3 Action globale du groupe adjoint et
de son analogue dans le cas tordu
On revient à une situation globale. On définit sur F , le groupe G := G/Z(G)
θ .
Et les caractères automorphes de G (A F ) sont définis de façon usuelle. On fixe un
ensemble V de places de F contenant V ram .
Remarque. Il n’existe qu’un nombre fini de caractères automorphes de G non ramifiés hors de V , triviaux sur l’image de G(A F ) ou plus généralement prolongeant
un caractère fixé de G(A F ).
On fixe un ensemble V
de places de F , contenant V et tel que
(1)
G (A F ) = G (F )G (F V )K
V
.
La remarque résulte alors facilement du fait que G (F V )/G(F V ) est un groupe
fini.
Pour tout v on fixe un caractère ξ(v) de G (F v ) prolongeant ω v . On a donc
défini f
ξ(v)
v
pour tout f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω). On note ξ(V ) :=
v ξ(v) et on définit
f
ξ(V )
V
pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), décomposée, en faisant le produit des f
ξ(v)
v
.
On note C(V ) l’ensemble des caractères de la remarque précédente prolongeant ω et pour ν un caractère infinitésimal de G(F ∞ ), on note π
˜
G,V
disc,ν la somme
des π
˜
G
disc,ν (c
V ) de X.5.1 quand c
V varie. C’est la partie discrète de la formule des
traces pour un caractère infinitésimal fixé et non ramifiée hors de V .
Lemme. Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω). Alors tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = 0 s’il n’existe par
ξ ∈ C(V ) tel que ξ(V ) = ξ V c’est-à-dire que ξ(V ) soit la restriction de ξ à G (F V ).
Pour démontrer ce lemme, on est en droit d’augmenter V : en effet soit
V
⊃ V . On a clairement tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ).
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(i) est une reformulation du (ii) de la proposition de [VII] 2.1 appliqué à
˜
M = ˜
G. En effet en appliquant cette proposition à ˜
M = ˜
G on voit que le transfert
de la fonction caractéristique de ˜
K v est nulle pour tout espace endoscopique qui
n’est pas non ramifié. D’où avec le (i) du lemme de X.6.1 pour que 1
ξ
˜
Kv
soit non
nul il faut que ξ = ω
G
pour une donnée endoscopique non ramifiée G
. Pour une
telle donnée ω
G
est non ramifié d’après [VII] 2.1 (3).
L’assertion (ii) dans le cas non tordu est conséquence du (ii) du lemme 6.1.
Dans le cas tordu, on suppose que ˜
G(F v ) a des classes de conjugaison exceptionnelles. D’après [III] 6.3, cela entraîne que ˜
G provient par changement de base (ce
qui est inoffensif) d’un espace pour lequel les hypothèses du (iii) du lemme 6.1 sont
satisfaites. Cela entraîne de plus que G est simplement connexe. Alors l’assertion
résulte de cette assertion (iii) du lemme 6.1.
X.6.3 Action globale du groupe adjoint et
de son analogue dans le cas tordu
On revient à une situation globale. On définit sur F , le groupe G := G/Z(G)
θ .
Et les caractères automorphes de G (A F ) sont définis de façon usuelle. On fixe un
ensemble V de places de F contenant V ram .
Remarque. Il n’existe qu’un nombre fini de caractères automorphes de G non ramifiés hors de V , triviaux sur l’image de G(A F ) ou plus généralement prolongeant
un caractère fixé de G(A F ).
On fixe un ensemble V
de places de F , contenant V et tel que
(1)
G (A F ) = G (F )G (F V )K
V
.
La remarque résulte alors facilement du fait que G (F V )/G(F V ) est un groupe
fini.
Pour tout v on fixe un caractère ξ(v) de G (F v ) prolongeant ω v . On a donc
défini f
ξ(v)
v
pour tout f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω). On note ξ(V ) :=
v ξ(v) et on définit
f
ξ(V )
V
pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), décomposée, en faisant le produit des f
ξ(v)
v
.
On note C(V ) l’ensemble des caractères de la remarque précédente prolongeant ω et pour ν un caractère infinitésimal de G(F ∞ ), on note π
˜
G,V
disc,ν la somme
des π
˜
G
disc,ν (c
V ) de X.5.1 quand c
V varie. C’est la partie discrète de la formule des
traces pour un caractère infinitésimal fixé et non ramifiée hors de V .
Lemme. Soit f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω). Alors tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = 0 s’il n’existe par
ξ ∈ C(V ) tel que ξ(V ) = ξ V c’est-à-dire que ξ(V ) soit la restriction de ξ à G (F V ).
Pour démontrer ce lemme, on est en droit d’augmenter V : en effet soit
V
⊃ V . On a clairement tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ) = tr π
˜
G,V
disc,ν (f
ξ(V )
V
1 K V ).