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Chapitre X. Stabilisation spectrale
On relève s et g(w) dans le revêtement simplement connexe, ˆ
G SC , de ˆ
G en s sc ∈
ˆ
G SC et g(w) sc et il existe donc a sc (w) ∈ Z( ˆ
G SC ) tel que ( ˆ
θ se relève canoniquement
en un automorphisme de ˆ
G SC )
s sc ˆ
θ(g(w) sc )s
−1
sc = a sc (w)g(w) sc .
On écrit g(w) = z(w)g(w) sc , avec z(w) ∈ Z( ˆ
G), en identifiant g(w) sc ∈ ˆ
G SC à son
image dans ˆ
G. Le caractère ω
G
est donné par le cocycle qui, à w ∈ W F , associe
l’image de (z(w), a sc (w)) dans Z( ˆ
G ) (cf. ce qui précède l’énoncé du lemme en
[I] 2.7). Par hypothèse ce cocycle est trivial et comme Γ F agit trivialement sur
ˆ
G, cela signifie qu’il existe z(w) sc ∈ Z( ˆ
G SC ) de sorte que z(w) ∈ z(w) sc ˆ
T
ˆ
θ,0 et
a sc (w) = (1− ˆ
θ)(z(w) sc ). On modifie la décomposition g(w) = z(w)g(w) sc en remplaçant z(w) par z(w)z(w)
−1
sc et g(w) sc par z(w) sc g(w) sc . Les relations précédentes
deviennent z(w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = 1. Alors g(w) sc est dans le centralisateur de
l’automorphisme ad(s sc ) ◦ ˆ
θ. Comme ˆ
G SC est simplement connexe le centralisateur d’un automorphisme semi-simple est connexe. Cette connexité entraîne que
l’image du centralisateur de ad(s sc ) ◦ ˆ
θ est exactement ˆ
G
et donc que l’image de
g(w) sc est dans ˆ
G
. Puisque z(w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
G
, g(w) est aussi dans ˆ
G
. Comme
g(w) stabilise un épinglage de ˆ
G
, g(w) est central dans ˆ
G
. Ainsi g w agit trivialement sur ˆ
G
. Comme ˆ
G
fait partie d’une donnée endoscopique elliptique de ˜
G
qui est un tore, on a :
ˆ
G
= ( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
Puisque ˆ
G
contient ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce tore est inclus dans Z( ˆ
G), ce qui ne peut se produire
que si ˆ
G est un tore. Cela termine la preuve.
X.6.2 Fonction caractéristique du compact et
action du groupe adjoint
On garde la situation locale de X.6.1. On suppose que la place fixée n’est pas
dans V ram , en particulier, on est dans une situation locale p-adique non ramifiée.
On note encore 1 ˜
Kv la fonction caractéristique du compact hyperspecial fixé et
pour tout caractère ξ de G (F )/G(F ), on a défini 1
ξ
˜
Kv
. On note K ,v le compact
maximal hyperspecial de G (F ) contenant l’image de K v dans G (F ).
Lemme.
(i) La fonction 1
ξ
˜
Kv
est non nulle seulement si ξ est non ramifié, c’est-à-dire
trivial sur K ,v .
(ii) On suppose que ξ = 1 ; la composante elliptique de 1
ξ
˜
Kv
est nulle dans le cas
non tordu, pourvu que G ne soit pas un tore. C’est aussi vrai dans le cas
tordu au moins si ˜
G(F v ) a des classes de conjugaison exceptionnelles.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
On relève s et g(w) dans le revêtement simplement connexe, ˆ
G SC , de ˆ
G en s sc ∈
ˆ
G SC et g(w) sc et il existe donc a sc (w) ∈ Z( ˆ
G SC ) tel que ( ˆ
θ se relève canoniquement
en un automorphisme de ˆ
G SC )
s sc ˆ
θ(g(w) sc )s
−1
sc = a sc (w)g(w) sc .
On écrit g(w) = z(w)g(w) sc , avec z(w) ∈ Z( ˆ
G), en identifiant g(w) sc ∈ ˆ
G SC à son
image dans ˆ
G. Le caractère ω
G
est donné par le cocycle qui, à w ∈ W F , associe
l’image de (z(w), a sc (w)) dans Z( ˆ
G ) (cf. ce qui précède l’énoncé du lemme en
[I] 2.7). Par hypothèse ce cocycle est trivial et comme Γ F agit trivialement sur
ˆ
G, cela signifie qu’il existe z(w) sc ∈ Z( ˆ
G SC ) de sorte que z(w) ∈ z(w) sc ˆ
T
ˆ
θ,0 et
a sc (w) = (1− ˆ
θ)(z(w) sc ). On modifie la décomposition g(w) = z(w)g(w) sc en remplaçant z(w) par z(w)z(w)
−1
sc et g(w) sc par z(w) sc g(w) sc . Les relations précédentes
deviennent z(w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = 1. Alors g(w) sc est dans le centralisateur de
l’automorphisme ad(s sc ) ◦ ˆ
θ. Comme ˆ
G SC est simplement connexe le centralisateur d’un automorphisme semi-simple est connexe. Cette connexité entraîne que
l’image du centralisateur de ad(s sc ) ◦ ˆ
θ est exactement ˆ
G
et donc que l’image de
g(w) sc est dans ˆ
G
. Puisque z(w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
G
, g(w) est aussi dans ˆ
G
. Comme
g(w) stabilise un épinglage de ˆ
G
, g(w) est central dans ˆ
G
. Ainsi g w agit trivialement sur ˆ
G
. Comme ˆ
G
fait partie d’une donnée endoscopique elliptique de ˜
G
qui est un tore, on a :
ˆ
G
= ( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
Puisque ˆ
G
contient ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce tore est inclus dans Z( ˆ
G), ce qui ne peut se produire
que si ˆ
G est un tore. Cela termine la preuve.
X.6.2 Fonction caractéristique du compact et
action du groupe adjoint
On garde la situation locale de X.6.1. On suppose que la place fixée n’est pas
dans V ram , en particulier, on est dans une situation locale p-adique non ramifiée.
On note encore 1 ˜
Kv la fonction caractéristique du compact hyperspecial fixé et
pour tout caractère ξ de G (F )/G(F ), on a défini 1
ξ
˜
Kv
. On note K ,v le compact
maximal hyperspecial de G (F ) contenant l’image de K v dans G (F ).
Lemme.
(i) La fonction 1
ξ
˜
Kv
est non nulle seulement si ξ est non ramifié, c’est-à-dire
trivial sur K ,v .
(ii) On suppose que ξ = 1 ; la composante elliptique de 1
ξ
˜
Kv
est nulle dans le cas
non tordu, pourvu que G ne soit pas un tore. C’est aussi vrai dans le cas
tordu au moins si ˜
G(F v ) a des classes de conjugaison exceptionnelles.