X.6. Digression, automorphismes de la situation
1221
On fait agir G (F ). On calcule le transfert (f
ξ )
G
en partant des définitions : pour
g ∈ G (F ), le transfert (
g f )
G
vaut ω
G
(g )
−1 f
G
. On obtient alors les formules
de la deuxième partie de (i) et
(1)
tr π(f
ξ ) =
G ;ω G
=ξ
tr π
G
st (f
G
).
Avec (1) on démontre la totalité de (i).
On utilise cette égalité (1) pour la preuve de (ii) et (iii) et dans (1) on se
limite aux représentations π qui sont elliptiques ; les représentations stables du
côté droit de l’égalité sont alors elles aussi elliptiques. On se place d’abord sous
l’hypothèse de (ii). Ici ˜
G = G et la situation est non ramifiée. En particulier f
est non ramifiée. Pour que le membre de gauche de (1) soit non nul il faut que
l’une des représentations g .π pour g ∈ G (F ) = G ad (F ) soit non ramifiée. On
peut évidemment supposer que π est ”irréductible” au sens qu’elle correspond à un
triplet (M, σ, r) de [81] 2.10, 2.11. Cela veut dire que g .π est une représentation
elliptique incluse dans une série principale non ramifiée donc M est un tore. On
sait que G ad (F )/G(F ) agit transitivement par permutation dans l’ensemble des
sous-quotients irréductibles d’une telle induite. Ainsi
g ∈G ad (F )/G(F ) g .π vaut
un multiple de :
μ∈ ˆ
R
μ(r)
πτ
π τ
,
où μ parcourt les caractères du R-groupe évalué en l’élément r ∈ R déterminant π
et où π τ parcourt l’ensemble des sous-quotients irréductibles de la série principale
considérée. Ceci vaut 0 puisque r est un élément régulier de R, sauf si M = G.
Dans ce dernier cas, π est la série principale nécessairement irréductible et G est
un tore. Cela montre (ii).
Montrons (iii), on a mis comme hypothèse que les données endoscopiques
de ˜
G sont des groupes non tordus. Le côté droit de (1) est nul sauf s’il existe
G
une donnée endoscopique de caractère ω
G
trivial et ayant des représentations
elliptiques stables n’annulant pas une fonction non ramifiée ; ici on utilise encore
le lemme fondamental tordu. Fixons une telle donnée G
. Le groupe adjoint de
G
agit trivialement dans SI cusp (G
). Donc on peut reprendre l’argument donné
pour démontrer (ii) qui entraîne que G
ne contribue au côté droit de (1) que si
G
est un tore. On exploite maintenant le fait que le caractère ω
G
est trivial.
On revient à la définition de ce caractère donnée en [I] 2.7. Soit w ∈ W F et
g w = (g(w), w) ∈ G
donnant l’action de Γ F sur ˆ
G
; on utilise tout de suite le fait
que Γ F agit trivialement dans ˆ
G. Donc par hypothèse g(w) respecte un épinglage
de ˆ
G
et vérifie, en écrivant ˆ
s = s ˆ
θ l’élément de la donnée endoscopique dont le
centralisateur est ˆ
G
s ˆ
θ(g(w))s
−1 = g(w).
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On fait agir G (F ). On calcule le transfert (f
ξ )
G
en partant des définitions : pour
g ∈ G (F ), le transfert (
g f )
G
vaut ω
G
(g )
−1 f
G
. On obtient alors les formules
de la deuxième partie de (i) et
(1)
tr π(f
ξ ) =
G ;ω G
=ξ
tr π
G
st (f
G
).
Avec (1) on démontre la totalité de (i).
On utilise cette égalité (1) pour la preuve de (ii) et (iii) et dans (1) on se
limite aux représentations π qui sont elliptiques ; les représentations stables du
côté droit de l’égalité sont alors elles aussi elliptiques. On se place d’abord sous
l’hypothèse de (ii). Ici ˜
G = G et la situation est non ramifiée. En particulier f
est non ramifiée. Pour que le membre de gauche de (1) soit non nul il faut que
l’une des représentations g .π pour g ∈ G (F ) = G ad (F ) soit non ramifiée. On
peut évidemment supposer que π est ”irréductible” au sens qu’elle correspond à un
triplet (M, σ, r) de [81] 2.10, 2.11. Cela veut dire que g .π est une représentation
elliptique incluse dans une série principale non ramifiée donc M est un tore. On
sait que G ad (F )/G(F ) agit transitivement par permutation dans l’ensemble des
sous-quotients irréductibles d’une telle induite. Ainsi
g ∈G ad (F )/G(F ) g .π vaut
un multiple de :
μ∈ ˆ
R
μ(r)
πτ
π τ
,
où μ parcourt les caractères du R-groupe évalué en l’élément r ∈ R déterminant π
et où π τ parcourt l’ensemble des sous-quotients irréductibles de la série principale
considérée. Ceci vaut 0 puisque r est un élément régulier de R, sauf si M = G.
Dans ce dernier cas, π est la série principale nécessairement irréductible et G est
un tore. Cela montre (ii).
Montrons (iii), on a mis comme hypothèse que les données endoscopiques
de ˜
G sont des groupes non tordus. Le côté droit de (1) est nul sauf s’il existe
G
une donnée endoscopique de caractère ω
G
trivial et ayant des représentations
elliptiques stables n’annulant pas une fonction non ramifiée ; ici on utilise encore
le lemme fondamental tordu. Fixons une telle donnée G
. Le groupe adjoint de
G
agit trivialement dans SI cusp (G
). Donc on peut reprendre l’argument donné
pour démontrer (ii) qui entraîne que G
ne contribue au côté droit de (1) que si
G
est un tore. On exploite maintenant le fait que le caractère ω
G
est trivial.
On revient à la définition de ce caractère donnée en [I] 2.7. Soit w ∈ W F et
g w = (g(w), w) ∈ G
donnant l’action de Γ F sur ˆ
G
; on utilise tout de suite le fait
que Γ F agit trivialement dans ˆ
G. Donc par hypothèse g(w) respecte un épinglage
de ˆ
G
et vérifie, en écrivant ˆ
s = s ˆ
θ l’élément de la donnée endoscopique dont le
centralisateur est ˆ
G
s ˆ
θ(g(w))s
−1 = g(w).