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Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.6 Digression, automorphismes de la situation
X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu
On se place dans une situation locale en fixant une place v. Pour simplifier, on
remplace F v par F . On note G le groupe G/Z(G)
θ . Il a été montré en [I] 2.6 que
ce groupe opère sur les facteurs de transfert : soit G
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
G, ω alors il existe un caractère ω
G
de G (F ) qui vaut ω sur l’image
de G(F ) dans G (F ) et tel que, pour tout g ∈ G (F ), pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ) et
δ dans une donnée auxiliaire attachée à G
:
Δ(δ, ad(g )
−1 γ) = ω
G
(g )Δ(δ, γ).
D’autre part G (F ) opère sur I( ˜
G, ω) et opère donc sur les ω-représentations de
˜
G(F ). Par définition, le transfert commute à ces actions.
Pour ce qui suit, on suppose que ω = 1.
Soit ξ un caractère de G (F )/G(F ) ; on fixe un système de représentants du
groupe fini G (F )/G(F ), noté R. Pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et tout γ ∈ ˜
G(F ) on pose
f
ξ (γ) := |G (F )/G(F )|
−1
g ∈R
ξ(g )f (ad(g )
−1 γ).
L’image de f
ξ dans I( ˜
G, ω) ne dépend pas du choix de R.
Lemme. Avec les notations précédentes :
(i) l’élément f
ξ de I( ˜
G, ω) est nul s’il n’existe pas une donnée endoscopique
elliptique G
telle que ξ = ω
G
. Et pour toute donnée endoscopique elliptique
G
de ˜
G, le transfert (f
ξ )
G
vérifie : (f
ξ )
G
= 0 si ω
G
= ξ et (f
ξ )
G
= f
G
sinon.
(ii) On suppose que ˜
G = G, que la place locale n’est pas dans V ram et que f est
bi-invariante par le compact maximal K. Alors la composante elliptique de
f
1G est nulle sauf éventuellement si G est un tore (ici 1 G est la notation
pour le caractère trivial de G ).
(iii) On revient à ˜
G mais on suppose que G n’est pas un tore. On suppose aussi
que G est déployé et que les données endoscopiques elliptiques de ˜
G sont à
torsion intérieure triviale. On suppose encore que f est bi-invariante par le
compact maximal K. Alors la composante elliptique de f
1G est nulle
Soit π une représentation tempérée de ˜
G(F ). On écrit π comme transfert à
partir de représentations tempérées stables de données endoscopiques elliptiques
de ˜
G(F ), c’est-à-dire que pour tout G
une donnée endoscopique elliptique de
˜
G(F ), il existe π
G
st tel que pour tout f ∈ I( ˜
G)
tr π(f ) =
G
tr π
G
st (f
G
).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.6 Digression, automorphismes de la situation
X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu
On se place dans une situation locale en fixant une place v. Pour simplifier, on
remplace F v par F . On note G le groupe G/Z(G)
θ . Il a été montré en [I] 2.6 que
ce groupe opère sur les facteurs de transfert : soit G
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
G, ω alors il existe un caractère ω
G
de G (F ) qui vaut ω sur l’image
de G(F ) dans G (F ) et tel que, pour tout g ∈ G (F ), pour tout γ ∈ ˜
G reg (F ) et
δ dans une donnée auxiliaire attachée à G
:
Δ(δ, ad(g )
−1 γ) = ω
G
(g )Δ(δ, γ).
D’autre part G (F ) opère sur I( ˜
G, ω) et opère donc sur les ω-représentations de
˜
G(F ). Par définition, le transfert commute à ces actions.
Pour ce qui suit, on suppose que ω = 1.
Soit ξ un caractère de G (F )/G(F ) ; on fixe un système de représentants du
groupe fini G (F )/G(F ), noté R. Pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et tout γ ∈ ˜
G(F ) on pose
f
ξ (γ) := |G (F )/G(F )|
−1
g ∈R
ξ(g )f (ad(g )
−1 γ).
L’image de f
ξ dans I( ˜
G, ω) ne dépend pas du choix de R.
Lemme. Avec les notations précédentes :
(i) l’élément f
ξ de I( ˜
G, ω) est nul s’il n’existe pas une donnée endoscopique
elliptique G
telle que ξ = ω
G
. Et pour toute donnée endoscopique elliptique
G
de ˜
G, le transfert (f
ξ )
G
vérifie : (f
ξ )
G
= 0 si ω
G
= ξ et (f
ξ )
G
= f
G
sinon.
(ii) On suppose que ˜
G = G, que la place locale n’est pas dans V ram et que f est
bi-invariante par le compact maximal K. Alors la composante elliptique de
f
1G est nulle sauf éventuellement si G est un tore (ici 1 G est la notation
pour le caractère trivial de G ).
(iii) On revient à ˜
G mais on suppose que G n’est pas un tore. On suppose aussi
que G est déployé et que les données endoscopiques elliptiques de ˜
G sont à
torsion intérieure triviale. On suppose encore que f est bi-invariante par le
compact maximal K. Alors la composante elliptique de f
1G est nulle
Soit π une représentation tempérée de ˜
G(F ). On écrit π comme transfert à
partir de représentations tempérées stables de données endoscopiques elliptiques
de ˜
G(F ), c’est-à-dire que pour tout G
une donnée endoscopique elliptique de
˜
G(F ), il existe π
G
st tel que pour tout f ∈ I( ˜
G)
tr π(f ) =
G
tr π
G
st (f
G
).