X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1219
X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale
Pour une fonction f de la forme f V 1 ˜
K V , on note ici I
˜
G (V, ω, f ) la formule des
traces tordue de X.5.2 appliquée à f V . On note SI
G
(V, f
G
) sa version stable.
Proposition. Sous l’hypothèse spectrale de récurrence et sous l’hypothèse de récurrence locale géométrique de X.3.5, pour toute fonction f de la forme f V 1 ˜
K V , on a :
I
˜
G (V, ω, f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
(V, f
G
) = I
˜
G
disc (f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
).
En particulier le membre de gauche ne dépend pas de V . La somme sur G
ne porte
que sur les données endoscopiques de ˜
G, ω non ramifiées hors de V et relevantes.
La présence de V mérite explications : les distributions I et SI dépendent
du choix de V car elles ne sont invariantes qu’en tant que distributions sur
I( ˜
G(F V ), ω). Dans le membre de droite I
˜
G
disc qui est spontanément une distribution
invariante, n’en dépend pas.
En tenant compte de X.5.4 la stabilisation de la partie discrète de la formule
des traces, c’est-à-dire la nullité du membre de droite de l’énoncé, est exactement
équivalente à la preuve de l’égalité (1) de X.5.9 pour tout ν, c
V .
Montrons la proposition. On fixe V et on décompose :
G
i( ˜
G, G
)(SI
G
(V, f
G
) − SI
G
disc (f
G
)).
Comme en [VI] 6.5, on transforme cette expression en une somme sur les sousgroupes de Levi des données endoscopiques G
; si M
est une donnée endoscopique
elliptique pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, le terme correspondant est (à un scalaire
près)
(1)
i( ˜
M , M
)
ν M ,c V
M
I
˜
G,E
M (π ν M ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ).
Si M
n’est relevant pour aucun espace de Levi de ˜
G, on a une expression similaire
avec une définition formelle de i( ˜
M, M
) et on a montré en X.4.9 que ce terme
correspondant (1) est nul. Revenant au cas où M
est une donnée relevante et elliptique pour un espace de Levi ˜
M , on a déjà montré en X.4.9 que sous l’hypothèse
géométrique de récurrence, l’expression (1) vaut
(2)
i( ˜
M , M
)
ν M ,c V
M
I
˜
G
˜
M
(transfert π ν M ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ).
Et ceci vaut encore par les définitions
νM ,c V
M
I
˜
G
˜
M
(π
˜
M,E
νM (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Avec l’hypothèse spectrale de récurrence, on obtient le terme indexé par ˜
M dans l’écriture
spectrale de la distribution f → I
˜
G (V, ω, f ). Ainsi en sommant sur les espaces de
Levi ˜
M , la somme des contributions des données non elliptiques relevantes de ˜
G
est exactement I
˜
G (V, ω, f ) − I
˜
G
disc (f ).
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X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale
Pour une fonction f de la forme f V 1 ˜
K V , on note ici I
˜
G (V, ω, f ) la formule des
traces tordue de X.5.2 appliquée à f V . On note SI
G
(V, f
G
) sa version stable.
Proposition. Sous l’hypothèse spectrale de récurrence et sous l’hypothèse de récurrence locale géométrique de X.3.5, pour toute fonction f de la forme f V 1 ˜
K V , on a :
I
˜
G (V, ω, f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
(V, f
G
) = I
˜
G
disc (f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
).
En particulier le membre de gauche ne dépend pas de V . La somme sur G
ne porte
que sur les données endoscopiques de ˜
G, ω non ramifiées hors de V et relevantes.
La présence de V mérite explications : les distributions I et SI dépendent
du choix de V car elles ne sont invariantes qu’en tant que distributions sur
I( ˜
G(F V ), ω). Dans le membre de droite I
˜
G
disc qui est spontanément une distribution
invariante, n’en dépend pas.
En tenant compte de X.5.4 la stabilisation de la partie discrète de la formule
des traces, c’est-à-dire la nullité du membre de droite de l’énoncé, est exactement
équivalente à la preuve de l’égalité (1) de X.5.9 pour tout ν, c
V .
Montrons la proposition. On fixe V et on décompose :
G
i( ˜
G, G
)(SI
G
(V, f
G
) − SI
G
disc (f
G
)).
Comme en [VI] 6.5, on transforme cette expression en une somme sur les sousgroupes de Levi des données endoscopiques G
; si M
est une donnée endoscopique
elliptique pour un espace de Levi ˜
M de ˜
G, le terme correspondant est (à un scalaire
près)
(1)
i( ˜
M , M
)
ν M ,c V
M
I
˜
G,E
M (π ν M ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ).
Si M
n’est relevant pour aucun espace de Levi de ˜
G, on a une expression similaire
avec une définition formelle de i( ˜
M, M
) et on a montré en X.4.9 que ce terme
correspondant (1) est nul. Revenant au cas où M
est une donnée relevante et elliptique pour un espace de Levi ˜
M , on a déjà montré en X.4.9 que sous l’hypothèse
géométrique de récurrence, l’expression (1) vaut
(2)
i( ˜
M , M
)
ν M ,c V
M
I
˜
G
˜
M
(transfert π ν M ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ).
Et ceci vaut encore par les définitions
νM ,c V
M
I
˜
G
˜
M
(π
˜
M,E
νM (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Avec l’hypothèse spectrale de récurrence, on obtient le terme indexé par ˜
M dans l’écriture
spectrale de la distribution f → I
˜
G (V, ω, f ). Ainsi en sommant sur les espaces de
Levi ˜
M , la somme des contributions des données non elliptiques relevantes de ˜
G
est exactement I
˜
G (V, ω, f ) − I
˜
G
disc (f ).