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Chapitre X. Stabilisation spectrale
est exactement I
˜
G
˜
M
(π νM ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Quand on enlève à ce terme les termes
écrits en (3), on a exactement la définition de SI
˜
G
˜
M
(π νM ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Et on
a montré que cette distribution est stable en X.4.9. Ainsi la somme des trois
termes (1), (2), (3) est une distribution stable. Et on en déduit que la distribution
f V → SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) est stable. Il reste à séparer les termes en fonction des couples
ν, c
V et montrer que chaque terme est stable, ce qui a été fait en X.5.5
X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale
On a défini les représentations semi-finies π
G
ν ,st (c
V ) pour toute donnée endoscopique de ˜
G, ω, où ν
est un caractère infinitésimal de G
trivial sur A G et c
V est
un caractère quasi-automorphe du produit des algèbres de Hecke sphériques hors
de V . On pose
π
˜
G,E
ν (c
V ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert π
G
ν ,st (c
V ).
On rappelle que V contient V ram et que G
ne parcourt que les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V et relevants.
La stabilisation de la partie discrète spectrale de la formule des traces consiste
à montrer que
(1)
π
˜
G
disc,ν (c
V ) = π
˜
G,E
ν (c
V )
pour tout couple ν, c
V . En termes plus explicites, on veut montrer que pour toute
fonction f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), on a
tr π
˜
G
ν,disc (c
V )(f V 1
V
K ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
tr π
G
ν ,st (c
V )(f
G
V 1 ˜
K
V ).
Comme la dépendance en V n’est qu’un problème de ramification et que l’on
dispose du lemme fondamental (X.5.6) cela veut dire que pour toute fonction
f ∈ I( ˜
G(A F ), ω), qui hors d’un nombre fini de places, V
contenant V est la
fonction caractéristique du compact K v (pour v /
∈ V
) et qui est bi-invariante par
K v pour tout v ∈ V
− V , on a
tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
π
G
ν ,st (c
V )(f
G
).
X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence
On peut évidemment généraliser les définitions en remplaçant ˜
G par l’un de ses
espaces de Levi et l’hypothèse spectrale de récurrence est exactement que pour
tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G, on a l’égalité :
π
˜
M
disc,νM (c
V
M ) = π
˜
M,E
νM (c
V
M ).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
est exactement I
˜
G
˜
M
(π νM ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Quand on enlève à ce terme les termes
écrits en (3), on a exactement la définition de SI
˜
G
˜
M
(π νM ,st (c
V
M ), f V 1 ˜
K V ). Et on
a montré que cette distribution est stable en X.4.9. Ainsi la somme des trois
termes (1), (2), (3) est une distribution stable. Et on en déduit que la distribution
f V → SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) est stable. Il reste à séparer les termes en fonction des couples
ν, c
V et montrer que chaque terme est stable, ce qui a été fait en X.5.5
X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale
On a défini les représentations semi-finies π
G
ν ,st (c
V ) pour toute donnée endoscopique de ˜
G, ω, où ν
est un caractère infinitésimal de G
trivial sur A G et c
V est
un caractère quasi-automorphe du produit des algèbres de Hecke sphériques hors
de V . On pose
π
˜
G,E
ν (c
V ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert π
G
ν ,st (c
V ).
On rappelle que V contient V ram et que G
ne parcourt que les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V et relevants.
La stabilisation de la partie discrète spectrale de la formule des traces consiste
à montrer que
(1)
π
˜
G
disc,ν (c
V ) = π
˜
G,E
ν (c
V )
pour tout couple ν, c
V . En termes plus explicites, on veut montrer que pour toute
fonction f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω), on a
tr π
˜
G
ν,disc (c
V )(f V 1
V
K ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
tr π
G
ν ,st (c
V )(f
G
V 1 ˜
K
V ).
Comme la dépendance en V n’est qu’un problème de ramification et que l’on
dispose du lemme fondamental (X.5.6) cela veut dire que pour toute fonction
f ∈ I( ˜
G(A F ), ω), qui hors d’un nombre fini de places, V
contenant V est la
fonction caractéristique du compact K v (pour v /
∈ V
) et qui est bi-invariante par
K v pour tout v ∈ V
− V , on a
tr π
˜
G
disc,ν (c
V )(f ) =
G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
π
G
ν ,st (c
V )(f
G
).
X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence
On peut évidemment généraliser les définitions en remplaçant ˜
G par l’un de ses
espaces de Levi et l’hypothèse spectrale de récurrence est exactement que pour
tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G, on a l’égalité :
π
˜
M
disc,νM (c
V
M ) = π
˜
M,E
νM (c
V
M ).