X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1217
Proposition. On fixe ν et c
V . Alors
(2) π ν,st (c
V ) = π disc,ν (c
V )−
G ;G =G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert(π
G
ν ,st (c
V ))
et les représentations π ν,st (c
V ) sont stables.
L’égalité (2) est facile : on part de la définition (1) que l’on écrit, pour tout
f V ∈ I( ˜
G(F V ))
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
I
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
V 1 ˜
K V
G
)
= 0.
Il faut remarquer que si V
est un ensemble fini de places contenant V , on a une
égalité analogue en remplaçant V par V
avec une compatibilité évidente si on
prend pour f V = f V 1 ˜
K V −V . Comme on a démontré que les représentations sousjacentes aux deux membres de (2) sont semi-finies, on applique X.5.4 pour obtenir
(2) et il faut savoir évidemment comment se comporte le transfert vis à vis des
caractères infinitésimaux et des caractères des algèbres de Hecke sphériques. Pour
le caractère infinitésimal on renvoie à [I] corollaire de 2.8 et pour les algèbres de
Hecke sphériques, c’est le lemme fondamental tel que rappelé en X.5.6.
Montrons la stabilité. On sait que la distribution
f V ∈ I( ˜
G(F V )) → I
˜
G (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
(f
G
V 1 ˜
K V
G
),
écrite sous forme géométrique est stable ([VII] 3.4 sachant que le théorème 3.3 de
[VII] est démontré de [VII] 3.5 à 3.8). Sous forme spectrale, elle est une somme de
termes indexés par les espaces de Levi ˜
M de ˜
G. Et on va isoler le terme qui nous
intéresse c’est-à-dire celui correspondant à ˜
M = ˜
G. Fixons ˜
M un sous-espace de
Levi propre de ˜
G et écrivons le terme lui correspondant ; on utilise la combinatoire
de [VI] 6.5. C’est une somme sur les couples ν M , c
V
M où ν M parcourt l’ensemble
des caractères infinitésimaux de M (F ∞ ) triviaux sur A ˜
M et c
V
M l’ensemble des
caractères quasi-automorphes des algèbres de Hecke sphériques hors de V , du
terme ci-dessous multiplié par le coefficient w( ˜
M ) :
(1)
I
˜
G
˜
M
(π νM (c
V
M ), f V 1 ˜
K V )
(2)
−
M =M
i( ˜
M, M
)
ν M ,c V
M →νM ,c V
M
I
˜
G,E
M (π ν M ,st , f V 1 ˜
K V )
(3)
−
s∈Z( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1)
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
G
(s)
˜
M
(π ν,st , f
G
(s)V 1 ˜
K
V ).
On a montré que dans les termes de (1), on peut enlever l’exposant E en remplaçant
les représentations stables de M
par leur transfert à ˜
M . Ainsi (1) moins (2)
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Proposition. On fixe ν et c
V . Alors
(2) π ν,st (c
V ) = π disc,ν (c
V )−
G ;G =G
i( ˜
G, G
)
ν →ν;c
V →c V
transfert(π
G
ν ,st (c
V ))
et les représentations π ν,st (c
V ) sont stables.
L’égalité (2) est facile : on part de la définition (1) que l’on écrit, pour tout
f V ∈ I( ˜
G(F V ))
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
I
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
V 1 ˜
K V
G
)
= 0.
Il faut remarquer que si V
est un ensemble fini de places contenant V , on a une
égalité analogue en remplaçant V par V
avec une compatibilité évidente si on
prend pour f V = f V 1 ˜
K V −V . Comme on a démontré que les représentations sousjacentes aux deux membres de (2) sont semi-finies, on applique X.5.4 pour obtenir
(2) et il faut savoir évidemment comment se comporte le transfert vis à vis des
caractères infinitésimaux et des caractères des algèbres de Hecke sphériques. Pour
le caractère infinitésimal on renvoie à [I] corollaire de 2.8 et pour les algèbres de
Hecke sphériques, c’est le lemme fondamental tel que rappelé en X.5.6.
Montrons la stabilité. On sait que la distribution
f V ∈ I( ˜
G(F V )) → I
˜
G (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
(f
G
V 1 ˜
K V
G
),
écrite sous forme géométrique est stable ([VII] 3.4 sachant que le théorème 3.3 de
[VII] est démontré de [VII] 3.5 à 3.8). Sous forme spectrale, elle est une somme de
termes indexés par les espaces de Levi ˜
M de ˜
G. Et on va isoler le terme qui nous
intéresse c’est-à-dire celui correspondant à ˜
M = ˜
G. Fixons ˜
M un sous-espace de
Levi propre de ˜
G et écrivons le terme lui correspondant ; on utilise la combinatoire
de [VI] 6.5. C’est une somme sur les couples ν M , c
V
M où ν M parcourt l’ensemble
des caractères infinitésimaux de M (F ∞ ) triviaux sur A ˜
M et c
V
M l’ensemble des
caractères quasi-automorphes des algèbres de Hecke sphériques hors de V , du
terme ci-dessous multiplié par le coefficient w( ˜
M ) :
(1)
I
˜
G
˜
M
(π νM (c
V
M ), f V 1 ˜
K V )
(2)
−
M =M
i( ˜
M, M
)
ν M ,c V
M →νM ,c V
M
I
˜
G,E
M (π ν M ,st , f V 1 ˜
K V )
(3)
−
s∈Z( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1)
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
G
(s)
˜
M
(π ν,st , f
G
(s)V 1 ˜
K
V ).
On a montré que dans les termes de (1), on peut enlever l’exposant E en remplaçant
les représentations stables de M
par leur transfert à ˜
M . Ainsi (1) moins (2)