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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. Soit π
st une représentation semi-finie et stable de G
, alors le transfert
π
st est la trace d’une représentation semi-finie.
On fixe d’abord V un ensemble fini de place vérifiant les propriétés précédent
l’énoncé. On fixe un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V , noté c
V
et un caractère infinitésimal ν. On définit alors π ν (c
V ) en ne gardant dans le terme
de droite de (1) que les π
ν ,st (c
V ) tel que ν
se transfère sur ν et c
V se transfère
sur c
V . Fixons un ensemble fini de K V -types ; on fixe un ensemble fini de K
G (FV ) -
types vérifiant le premier lemme du paragraphe 6 de [XI], c’est-à-dire que si f V se
transforme sous au moins l’un des K V -types, la trace de f V sur les transferts des
représentations stables de G
(F V ) ayant une trace nulle sur les fonctions n’ayant
pas de K
G (FV ) -type dans l’ensemble fixé est nulle. En d’autres termes la trace de
π ν (c
V ) sur les fonctions ayant des K V -types dans un ensemble fini fixé se calcule à
l’aide des traces des π ν ,st (c
V ) sur les fonctions ayant des K
G (FV ) -types dans un
ensemble lui-aussi fini. Elle est donc nulle pour presque tout ν et c
V ; et quand on
fixe ν et c
V , π ν (c
V ) est le transfert de
ν ,c
V π
ν ,st (c
V ) où la somme est précisée
ci-dessus. Ce transfert se calcule facilement dans la base endoscopique grâce au
(ii) du corollaire de X.5.5 et seul un nombre fini de termes apparaissent puisque
ceci est vrai pour G
. On a donc, en tenant compte de X.5.4 les propriétés (iii)
et (iv) de X.5.3 ; les propriétés (i) et (ii) qui portent sur le caractère infinitésimal
sont aussi vérifiées puisque cela est vrai pour le terme de droite. La propriété de
convergence se déduit des définitions. Cela prouve le lemme.
X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces
On suppose ici que ˜
G est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé avec
ω = 1. On fixe un ensemble fini de places V de F contenant V ram . On considère
la distribution qui à f V ∈ I( ˜
G(F V )) associe
(2)
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) := I
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
V 1 ˜
K V
G
);
seuls les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V interviennent
non trivialement. Ainsi on vérifie facilement que cette distribution est la trace
d’une représentation semi-finie (parce que le transfert d’une représentation semifinie est semi-finie d’après X.5.7).
On a une décomposition d’après X.5.3,
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) =
ν,c V
tr π ν,st (c
V )(f V 1 ˜
K V ),
la notation anticipe la proposition suivante où on va montrer les propriétés de
stabilité
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. Soit π
st une représentation semi-finie et stable de G
, alors le transfert
π
st est la trace d’une représentation semi-finie.
On fixe d’abord V un ensemble fini de place vérifiant les propriétés précédent
l’énoncé. On fixe un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V , noté c
V
et un caractère infinitésimal ν. On définit alors π ν (c
V ) en ne gardant dans le terme
de droite de (1) que les π
ν ,st (c
V ) tel que ν
se transfère sur ν et c
V se transfère
sur c
V . Fixons un ensemble fini de K V -types ; on fixe un ensemble fini de K
G (FV ) -
types vérifiant le premier lemme du paragraphe 6 de [XI], c’est-à-dire que si f V se
transforme sous au moins l’un des K V -types, la trace de f V sur les transferts des
représentations stables de G
(F V ) ayant une trace nulle sur les fonctions n’ayant
pas de K
G (FV ) -type dans l’ensemble fixé est nulle. En d’autres termes la trace de
π ν (c
V ) sur les fonctions ayant des K V -types dans un ensemble fini fixé se calcule à
l’aide des traces des π ν ,st (c
V ) sur les fonctions ayant des K
G (FV ) -types dans un
ensemble lui-aussi fini. Elle est donc nulle pour presque tout ν et c
V ; et quand on
fixe ν et c
V , π ν (c
V ) est le transfert de
ν ,c
V π
ν ,st (c
V ) où la somme est précisée
ci-dessus. Ce transfert se calcule facilement dans la base endoscopique grâce au
(ii) du corollaire de X.5.5 et seul un nombre fini de termes apparaissent puisque
ceci est vrai pour G
. On a donc, en tenant compte de X.5.4 les propriétés (iii)
et (iv) de X.5.3 ; les propriétés (i) et (ii) qui portent sur le caractère infinitésimal
sont aussi vérifiées puisque cela est vrai pour le terme de droite. La propriété de
convergence se déduit des définitions. Cela prouve le lemme.
X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces
On suppose ici que ˜
G est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé avec
ω = 1. On fixe un ensemble fini de places V de F contenant V ram . On considère
la distribution qui à f V ∈ I( ˜
G(F V )) associe
(2)
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) := I
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
G
disc (f
G
V 1 ˜
K V
G
);
seuls les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V interviennent
non trivialement. Ainsi on vérifie facilement que cette distribution est la trace
d’une représentation semi-finie (parce que le transfert d’une représentation semifinie est semi-finie d’après X.5.7).
On a une décomposition d’après X.5.3,
SI
˜
G
disc (f V 1 ˜
K V ) =
ν,c V
tr π ν,st (c
V )(f V 1 ˜
K V ),
la notation anticipe la proposition suivante où on va montrer les propriétés de
stabilité