X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1215
X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu
La situation ici est locale et on note v la place considérée. On suppose que v /
∈ V ram .
On fixe G
une donnée endoscopique elliptique non ramifiée de ˜
G(F v ), ω. A tout
morphisme non ramifié de W Fv dans G
, on associe un morphisme non ramifié
de W Fv dans le L-groupe de G. Dans notre cas non ramifié, on peut fixer un
isomorphisme G
L G
. Cela donne une correspondance entre les représentations
non ramifiées de G
(F v ) dans l’ensemble des représentations non ramifiées π de
G(F v ) telles que π
θ
π ⊗ ω. Comme on a supposé que v /
∈ V ram , une telle
représentation non ramifiée de G(F v ) s’étend canoniquement en une représentation
de ˜
G(F v ) en demandant que ˜
K v agisse trivialement sur l’espace des invariants sous
K v (cet espace est de dimension 1, bien entendu). Si la donnée endoscopique a elle
aussi une torsion (nécessairement intérieure) on étend aussi les représentations
non ramifiées de G
(F v ) à l’espace tordu. Le lemme fondamental tordu pour toute
l’algèbre de Hecke sphérique dit que si f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω) est bi-invariante sous K v et
alors on peut choisir une fonction f
G
v dans I( ˜
G
(F v )) bi-invariante sous K G ,v qui
soit un transfert de f v et qui vérifie tr π(f v ) = tr π
(f
G
v ) si π et π
se correspondent
dans la correspondance que l’on vient de décrire. C’est la même formulation que
[I] 6.4. Ce lemme est maintenant démontré dans [60] et il est indispensable pour
avoir la stabilisation de la formule des traces, qu’elle soit tordue ou non. Dans le
cas non tordu, il a été démontré par Hales, cf. [36].
Dans le cas tordu comme dans le cas non tordu le point clé est de connaître le
lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke. Ceci est démontré
par Ngo et la démonstration de Ngo a donc fait sauter le verrou bloquant la
stabilisation de la formule des traces non tordue. Il est démontré que le résultat
de Ngo entraîne le lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke
dans le cas tordu ([80]).
X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable
Ici on fixe G
une donnée endoscopique de ˜
G et une représentation semi-finie stable,
π
st de cette donnée. On définit le transfert de la trace de cette représentation en
posant pour tout ensemble fini de places V , contenant V ram et les places où la
donnée endoscopique n’est pas non ramifiée, et pour toute f V ∈ C
∞
c (G(F V )),
(1)
transfert π
st (f V 1 ˜
K V ) :=
ν ,c
V
tr π
ν ,st (c
V )(f
G
(FV )
V
1
G
(F
V )
K
V
),
où la somme porte sur l’ensemble des caractères infinitésimaux pour la donnée
endoscopique et l’ensemble des caractères de l’algèbre de Hecke sphérique hors de
V pour G
. Ceci est bien défini d’après les propriétés de stabilité et de finitude
montrées pour le terme de droite. Grâce au lemme fondamental, le terme de gauche
ne dépend pas du choix de V du moment que V est suffisamment grand.
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X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu
La situation ici est locale et on note v la place considérée. On suppose que v /
∈ V ram .
On fixe G
une donnée endoscopique elliptique non ramifiée de ˜
G(F v ), ω. A tout
morphisme non ramifié de W Fv dans G
, on associe un morphisme non ramifié
de W Fv dans le L-groupe de G. Dans notre cas non ramifié, on peut fixer un
isomorphisme G
L G
. Cela donne une correspondance entre les représentations
non ramifiées de G
(F v ) dans l’ensemble des représentations non ramifiées π de
G(F v ) telles que π
θ
π ⊗ ω. Comme on a supposé que v /
∈ V ram , une telle
représentation non ramifiée de G(F v ) s’étend canoniquement en une représentation
de ˜
G(F v ) en demandant que ˜
K v agisse trivialement sur l’espace des invariants sous
K v (cet espace est de dimension 1, bien entendu). Si la donnée endoscopique a elle
aussi une torsion (nécessairement intérieure) on étend aussi les représentations
non ramifiées de G
(F v ) à l’espace tordu. Le lemme fondamental tordu pour toute
l’algèbre de Hecke sphérique dit que si f v ∈ I( ˜
G(F v ), ω) est bi-invariante sous K v et
alors on peut choisir une fonction f
G
v dans I( ˜
G
(F v )) bi-invariante sous K G ,v qui
soit un transfert de f v et qui vérifie tr π(f v ) = tr π
(f
G
v ) si π et π
se correspondent
dans la correspondance que l’on vient de décrire. C’est la même formulation que
[I] 6.4. Ce lemme est maintenant démontré dans [60] et il est indispensable pour
avoir la stabilisation de la formule des traces, qu’elle soit tordue ou non. Dans le
cas non tordu, il a été démontré par Hales, cf. [36].
Dans le cas tordu comme dans le cas non tordu le point clé est de connaître le
lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke. Ceci est démontré
par Ngo et la démonstration de Ngo a donc fait sauter le verrou bloquant la
stabilisation de la formule des traces non tordue. Il est démontré que le résultat
de Ngo entraîne le lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke
dans le cas tordu ([80]).
X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable
Ici on fixe G
une donnée endoscopique de ˜
G et une représentation semi-finie stable,
π
st de cette donnée. On définit le transfert de la trace de cette représentation en
posant pour tout ensemble fini de places V , contenant V ram et les places où la
donnée endoscopique n’est pas non ramifiée, et pour toute f V ∈ C
∞
c (G(F V )),
(1)
transfert π
st (f V 1 ˜
K V ) :=
ν ,c
V
tr π
ν ,st (c
V )(f
G
(FV )
V
1
G
(F
V )
K
V
),
où la somme porte sur l’ensemble des caractères infinitésimaux pour la donnée
endoscopique et l’ensemble des caractères de l’algèbre de Hecke sphérique hors de
V pour G
. Ceci est bien défini d’après les propriétés de stabilité et de finitude
montrées pour le terme de droite. Grâce au lemme fondamental, le terme de gauche
ne dépend pas du choix de V du moment que V est suffisamment grand.