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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Montrons maintenant l’assertion (ii). Le sens ”si” est clair. Réciproquement
soit π une ω-représentation semi-finie et stable. En fixant V , un nombre fini de
places contenant V ram et un caractère infinitésimal ν, on a la ω-représentation
π ν (c
V ) de ˜
G(F V ), dont on sait maintenant qu’elle est stable. On écrit cette représentation dans la base endoscopique de X.5.4. La propriété cherchée est que dans
cette base, seuls les produits tensoriels de représentations stables interviennent
pour l’écriture de π ν (c
V ). On commence par démontrer cela pour la partie elliptique, c’est-à-dire les composantes de cette représentation relativement à l’espace
de Levi qui est ˜
G(F V ) lui-même. On note π ν,ell (c
V ), cette composante. Soit f V
une fonction sur ˜
G(F V ) produits de fonctions cuspidales en toutes les places de V .
Et on note f V,st la projection de cette fonction sur SI cusp ( ˜
G(F V ) et π ν,ell,st (c
V )
la somme des composantes de π ν,ell (c
V ) qui sont produits tensoriels de représentations elliptiques stables. On a alors les égalités suivantes :
tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell (c
V )(f V,st 1 ˜
K V )
= tr π ν,ell,st (c
V )(f V,st 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell,st (c
V )(f V 1 ˜
K V ).
Ou encore la trace de la représentation τ := π ν,ell (c
V ) − π ν,ell,st (c
V ) annule toutes
les fonctions cuspidales en toutes place dans V . On décompose τ suivant les caractères centraux : on peut le faire en fixant un ensemble fini de K V -type ce qui
permet d’utiliser les propriétées de finitude de la remarque de X.5.4 pour séparer
ces caractères. Soit μ V , un tel caractère central, bien sûr c’est un produit sur toutes
les places dans V de caractères centraux qui n’ont pas de cohérence entre eux, on
note alors τ (μ V ) la composante de τ ayant ce caractère central et τ (μ V ) a sa trace
qui annule aussi toutes les fonctions cuspidales en toutes places de V . Mais, comme
le caractère central est fixé, les fonctions cuspidales séparent les représentations
elliptiques et cela force τ (μ V ) = 0. On remplace π ν (c
V ) par π ν (c
V ) − π ν,ell (c
V ) ;
cette représentation est encore stable, elle n’a plus de composante non nulle dans
la base endoscopique formée de produit tensoriel de représentations elliptiques et
on veut montrer pour elle la propriété cherchée au départ pour π ν (c
V ). Progressivement, on se ramène donc à la situation suivante : soit τ V une ω-représentation
de ˜
G(F V ), stable, vérifiant les propriétés de finitude de X.5.4 et telle que pour
tout v ∈ V , il existe un espace de Levi ˜
M v tel que τ V n’a pas de composante
non nulle pour les espaces de Levi × v∈V ˜
M
v si pour tout v ∈ V , ˜
M
v ⊃ ˜
M v avec
au moins une inégalité stricte. Et on doit alors montrer que dans la base endoscopique τ V n’a comme composante relative à l’espace de Levi × v∈V ˜
M v que des
produits tensoriels d’induites de représentations elliptiques stables. C’est la même
démonstration que dans le cas de ˜
M v = ˜
G v , pour tout v, en utilisant cette fois les
fonctions ˜
M v -cuspidales en toute place de v. Dans les formules de trace, ce sont
alors les termes constants de ces fonctions qui interviennent et le point est que ces
termes constants engendrent l’espace de toutes les fonctions cuspidales sur ˜
M v qui
sont invariantes sous le stabilisateur dans G v de cet espace. Mais on peut supposer
que les représentations considérées ont les mêmes propriétés d’invariance, d’où le
résultat cherché.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Montrons maintenant l’assertion (ii). Le sens ”si” est clair. Réciproquement
soit π une ω-représentation semi-finie et stable. En fixant V , un nombre fini de
places contenant V ram et un caractère infinitésimal ν, on a la ω-représentation
π ν (c
V ) de ˜
G(F V ), dont on sait maintenant qu’elle est stable. On écrit cette représentation dans la base endoscopique de X.5.4. La propriété cherchée est que dans
cette base, seuls les produits tensoriels de représentations stables interviennent
pour l’écriture de π ν (c
V ). On commence par démontrer cela pour la partie elliptique, c’est-à-dire les composantes de cette représentation relativement à l’espace
de Levi qui est ˜
G(F V ) lui-même. On note π ν,ell (c
V ), cette composante. Soit f V
une fonction sur ˜
G(F V ) produits de fonctions cuspidales en toutes les places de V .
Et on note f V,st la projection de cette fonction sur SI cusp ( ˜
G(F V ) et π ν,ell,st (c
V )
la somme des composantes de π ν,ell (c
V ) qui sont produits tensoriels de représentations elliptiques stables. On a alors les égalités suivantes :
tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell (c
V )(f V,st 1 ˜
K V )
= tr π ν,ell,st (c
V )(f V,st 1 ˜
K V ) = tr π ν,ell,st (c
V )(f V 1 ˜
K V ).
Ou encore la trace de la représentation τ := π ν,ell (c
V ) − π ν,ell,st (c
V ) annule toutes
les fonctions cuspidales en toutes place dans V . On décompose τ suivant les caractères centraux : on peut le faire en fixant un ensemble fini de K V -type ce qui
permet d’utiliser les propriétées de finitude de la remarque de X.5.4 pour séparer
ces caractères. Soit μ V , un tel caractère central, bien sûr c’est un produit sur toutes
les places dans V de caractères centraux qui n’ont pas de cohérence entre eux, on
note alors τ (μ V ) la composante de τ ayant ce caractère central et τ (μ V ) a sa trace
qui annule aussi toutes les fonctions cuspidales en toutes places de V . Mais, comme
le caractère central est fixé, les fonctions cuspidales séparent les représentations
elliptiques et cela force τ (μ V ) = 0. On remplace π ν (c
V ) par π ν (c
V ) − π ν,ell (c
V ) ;
cette représentation est encore stable, elle n’a plus de composante non nulle dans
la base endoscopique formée de produit tensoriel de représentations elliptiques et
on veut montrer pour elle la propriété cherchée au départ pour π ν (c
V ). Progressivement, on se ramène donc à la situation suivante : soit τ V une ω-représentation
de ˜
G(F V ), stable, vérifiant les propriétés de finitude de X.5.4 et telle que pour
tout v ∈ V , il existe un espace de Levi ˜
M v tel que τ V n’a pas de composante
non nulle pour les espaces de Levi × v∈V ˜
M
v si pour tout v ∈ V , ˜
M
v ⊃ ˜
M v avec
au moins une inégalité stricte. Et on doit alors montrer que dans la base endoscopique τ V n’a comme composante relative à l’espace de Levi × v∈V ˜
M v que des
produits tensoriels d’induites de représentations elliptiques stables. C’est la même
démonstration que dans le cas de ˜
M v = ˜
G v , pour tout v, en utilisant cette fois les
fonctions ˜
M v -cuspidales en toute place de v. Dans les formules de trace, ce sont
alors les termes constants de ces fonctions qui interviennent et le point est que ces
termes constants engendrent l’espace de toutes les fonctions cuspidales sur ˜
M v qui
sont invariantes sous le stabilisateur dans G v de cet espace. Mais on peut supposer
que les représentations considérées ont les mêmes propriétés d’invariance, d’où le
résultat cherché.