X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1213
K V -types. On sait alors que π ν0 a un nombre fini de composantes irréductibles admettant ces K-types et on les décompose en
c V π ν0 (c
V ). On fixe V
un ensemble
fini de places contenant V et tel que les caractères des représentations constituant
π ν0 (c
V ) restreints en des distributions sur ⊗ v∈V I( ˜
G(F v ), ω) soient linéairement
indépendants, ou encore que ⊗ v∈V I( ˜
G(F v ), ω) séparent les différentes représentations π ν0 (c
V ). Par hypothèse tr π(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 donc d’après (i) appliqué
à V
ce qui est loisible, tr π ν0 (f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 et en faisant varier f V −V on
obtient tr π ν0 (c
V )(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 pour tout choix de f V −V et pour tout c
V .
Cela entraîne a fortiori (ii).
X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité
On suppose ici G quasi-déployé, ˜
G à torsion intérieure et ω = 1. Soit π une
représentation semi-finie de ˜
G, on la suppose stable ; cela veut dire que pour toute
place v 0 , pour tout ensemble fini de places V
contenant V ram et v 0 et pour toute
fonction f V ∈ I( ˜
G(F V )) décomposée, dont la composante en la place v 0 annule
toutes les intégrales orbitales stables de ˜
G(F v0 ), tr π(f V 1 ˜
K V ) = 0. On fixe V
contenant V ram comme précédemment et on décompose π en
ν,c V π ν (c
V ).
Corollaire.
(i) Pour tout ν, c
V , les distributions
f V ∈ I( ˜
G(f V )) → tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V )
sont stables.
(ii) Une représentation semi-finie est stable si et seulement si elle est semi-finie
et son écriture dans la base endoscopique de X.5.4 ne fait intervenir que des
produits tensoriels de représentations locales stables.
(i) On fixe ν, c
V et v 0 ∈ V . et on doit montrer que pour toute fonction
f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 )) qui annule les intégrales orbitales stables en la place v 0 et pour
toute fonction f V ∈ I( ˜
G(F v )) décomposée et ayant f v0 comme composante en
la place v 0 , on a tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = 0. On applique X.5.4 à l’ensemble F qui
est précisément l’ensemble des f V,α où α parcourt l’ensemble des multiplicateurs.
Mais pour cela il faut vérifier que pour tout f
V dans cet ensemble f
v0 annule
encore toutes les intégrales orbitales stables. C’est évident d’après les définitions
si v 0 n’est pas une place archimédienne. Supposons donc que v 0 est une place
archimédienne. Pour toute représentation stable, π
v0 de ˜
G(F v0 ), on a
tr π
v0 (f v0,α ) = ˇ
α(ν π
v 0
) tr π
v0 (f v0 ) = 0,
par hypothèse sur f v0 . D’après [IV] 2.3, la fonction f v0,α annule donc toutes les
intégrales orbitales stables en la place v 0 . Cela permet d’appliquer X.5.4 (i) et (ii)
pour obtenir le (i) du corollaire.
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K V -types. On sait alors que π ν0 a un nombre fini de composantes irréductibles admettant ces K-types et on les décompose en
c V π ν0 (c
V ). On fixe V
un ensemble
fini de places contenant V et tel que les caractères des représentations constituant
π ν0 (c
V ) restreints en des distributions sur ⊗ v∈V I( ˜
G(F v ), ω) soient linéairement
indépendants, ou encore que ⊗ v∈V I( ˜
G(F v ), ω) séparent les différentes représentations π ν0 (c
V ). Par hypothèse tr π(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 donc d’après (i) appliqué
à V
ce qui est loisible, tr π ν0 (f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 et en faisant varier f V −V on
obtient tr π ν0 (c
V )(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 pour tout choix de f V −V et pour tout c
V .
Cela entraîne a fortiori (ii).
X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité
On suppose ici G quasi-déployé, ˜
G à torsion intérieure et ω = 1. Soit π une
représentation semi-finie de ˜
G, on la suppose stable ; cela veut dire que pour toute
place v 0 , pour tout ensemble fini de places V
contenant V ram et v 0 et pour toute
fonction f V ∈ I( ˜
G(F V )) décomposée, dont la composante en la place v 0 annule
toutes les intégrales orbitales stables de ˜
G(F v0 ), tr π(f V 1 ˜
K V ) = 0. On fixe V
contenant V ram comme précédemment et on décompose π en
ν,c V π ν (c
V ).
Corollaire.
(i) Pour tout ν, c
V , les distributions
f V ∈ I( ˜
G(f V )) → tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V )
sont stables.
(ii) Une représentation semi-finie est stable si et seulement si elle est semi-finie
et son écriture dans la base endoscopique de X.5.4 ne fait intervenir que des
produits tensoriels de représentations locales stables.
(i) On fixe ν, c
V et v 0 ∈ V . et on doit montrer que pour toute fonction
f v0 ∈ I( ˜
G(F v0 )) qui annule les intégrales orbitales stables en la place v 0 et pour
toute fonction f V ∈ I( ˜
G(F v )) décomposée et ayant f v0 comme composante en
la place v 0 , on a tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = 0. On applique X.5.4 à l’ensemble F qui
est précisément l’ensemble des f V,α où α parcourt l’ensemble des multiplicateurs.
Mais pour cela il faut vérifier que pour tout f
V dans cet ensemble f
v0 annule
encore toutes les intégrales orbitales stables. C’est évident d’après les définitions
si v 0 n’est pas une place archimédienne. Supposons donc que v 0 est une place
archimédienne. Pour toute représentation stable, π
v0 de ˜
G(F v0 ), on a
tr π
v0 (f v0,α ) = ˇ
α(ν π
v 0
) tr π
v0 (f v0 ) = 0,
par hypothèse sur f v0 . D’après [IV] 2.3, la fonction f v0,α annule donc toutes les
intégrales orbitales stables en la place v 0 . Cela permet d’appliquer X.5.4 (i) et (ii)
pour obtenir le (i) du corollaire.