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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ensuite la propriété de convergence absolue résulte des travaux de Müller sur
la traçabilité du spectre discret ([65]) et les propriétés restantes sont des propriétés
générales de finitude du nombre de représentations automorphes quand on a fixé
le caractère infinitésimal et la ramification. Cela prouve la remarque.
Utilisation des multiplicateurs sur les représentations semi-finies
Cette théorie des multiplicateurs est due à Arthur et permet de séparer les caractères infinitésimaux ([4] 4.2). On l’utilise comme dans [20], en montrant ici la
propriété qui servira.
Soit V un ensemble fini de places contenant V ram et soit F un ensemble
de fonctions dans I( ˜
G(F V ), ω) (donc en particulier K V finies). On suppose que
F est stable par convolution pour tout multiplicateur α. On fixe aussi π une
représentation semi-finie de ˜
G(A F ) dont toutes les composantes sont non ramifiées
hors de V . On reprend la notation π =
ν,c V π ν (c
V ) de X.5.3.
Lemme.
(i) On suppose que tr π(f V 1
V
˜
K
) = 0 pour tout f V ∈ F. Alors tr π ν (f V 1 ˜
K V ) = 0
pour tout f V ∈ F et tout caractère infinitésimal ν.
(ii) On suppose en plus que pour tout ensemble fini de places V
de F contenant
V et pour toute fonction f V −V dans I( ˜
G(F V −V ), ω) non ramifiée, on a
tr π(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 alors tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = 0 pour tout couple ν, c
V
comme précédemment.
On fixe f ∈ F ; il suffit de supposer que F est exactement l’ensemble des
éléments f α pour α parcourant l’ensemble des mutliplicateurs ; on rappelle que α
est une fonction à support compact sur h où h est l’algèbre de Lie (complexifiée)
d’un tore de G(F ∞ ), invariante sous W ∞ , le groupe de Weyl de ce tore complexifié.
On note ˇ
α la transformée de Fourier de α et ˇ
α parcourt donc l’ensemble des
fonctions de Paley Wiener sur h
∗ invariantes sous W ∞ . Comme f V est K V -fini et
que π est non ramifié hors de V , l’hypothèse de semi-finitude assure qu’il existe
R ∈ R >0 tel que si π ν a des vecteurs invariants sous l’un des K-types fixés, alors
|| Re ν|| ≤ R. On fixe ν 0 avec cette propriété sur les invariants. On fixe aussi,
grâce à [24], 2e partie, lemme 15.2, α tel que ˇ
α(ν) ∈ [0, 1] pour tout caractère
infinitésimal ν de partie réelle bornée en norme par R et tel que ν soit le caractère
infinitésimal ν π d’une représentation π vérifiant ν π ν ˇ
π ; et on impose en plus
(avec la même référence) que ˇ
α(ν) = 1 pour un tel ν uniquement si ν = ν 0 .
Pour tout m ∈ N on note ∗
m α le convolé de α m-fois. Alors tr π(f ∗ m α ) =
ν ˇ
α(ν)
m tr π ν (f V 1 ˜
K V ). Pour ν intervenant dans cette somme, avec ν = ν 0 ,
ˇ
α(ν)
m tend vers 0 quand m tend vers l’infini. On utilise alors l’hypothèse de
convergence absolue pour montrer que quand m tend vers l’infini cette somme
converge vers tr π ν0 (f V 1
V
˜
K
). On a ainsi montré (i).
Montrons (ii). On fixe ν 0 et f V ∈ F. On fixe aussi un ensemble de K-types
qui sont les K
V types triviaux hors de V et tel que f V se transforme suivant ces
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ensuite la propriété de convergence absolue résulte des travaux de Müller sur
la traçabilité du spectre discret ([65]) et les propriétés restantes sont des propriétés
générales de finitude du nombre de représentations automorphes quand on a fixé
le caractère infinitésimal et la ramification. Cela prouve la remarque.
Utilisation des multiplicateurs sur les représentations semi-finies
Cette théorie des multiplicateurs est due à Arthur et permet de séparer les caractères infinitésimaux ([4] 4.2). On l’utilise comme dans [20], en montrant ici la
propriété qui servira.
Soit V un ensemble fini de places contenant V ram et soit F un ensemble
de fonctions dans I( ˜
G(F V ), ω) (donc en particulier K V finies). On suppose que
F est stable par convolution pour tout multiplicateur α. On fixe aussi π une
représentation semi-finie de ˜
G(A F ) dont toutes les composantes sont non ramifiées
hors de V . On reprend la notation π =
ν,c V π ν (c
V ) de X.5.3.
Lemme.
(i) On suppose que tr π(f V 1
V
˜
K
) = 0 pour tout f V ∈ F. Alors tr π ν (f V 1 ˜
K V ) = 0
pour tout f V ∈ F et tout caractère infinitésimal ν.
(ii) On suppose en plus que pour tout ensemble fini de places V
de F contenant
V et pour toute fonction f V −V dans I( ˜
G(F V −V ), ω) non ramifiée, on a
tr π(f V f V −V 1 ˜
K V ) = 0 alors tr π ν (c
V )(f V 1 ˜
K V ) = 0 pour tout couple ν, c
V
comme précédemment.
On fixe f ∈ F ; il suffit de supposer que F est exactement l’ensemble des
éléments f α pour α parcourant l’ensemble des mutliplicateurs ; on rappelle que α
est une fonction à support compact sur h où h est l’algèbre de Lie (complexifiée)
d’un tore de G(F ∞ ), invariante sous W ∞ , le groupe de Weyl de ce tore complexifié.
On note ˇ
α la transformée de Fourier de α et ˇ
α parcourt donc l’ensemble des
fonctions de Paley Wiener sur h
∗ invariantes sous W ∞ . Comme f V est K V -fini et
que π est non ramifié hors de V , l’hypothèse de semi-finitude assure qu’il existe
R ∈ R >0 tel que si π ν a des vecteurs invariants sous l’un des K-types fixés, alors
|| Re ν|| ≤ R. On fixe ν 0 avec cette propriété sur les invariants. On fixe aussi,
grâce à [24], 2e partie, lemme 15.2, α tel que ˇ
α(ν) ∈ [0, 1] pour tout caractère
infinitésimal ν de partie réelle bornée en norme par R et tel que ν soit le caractère
infinitésimal ν π d’une représentation π vérifiant ν π ν ˇ
π ; et on impose en plus
(avec la même référence) que ˇ
α(ν) = 1 pour un tel ν uniquement si ν = ν 0 .
Pour tout m ∈ N on note ∗
m α le convolé de α m-fois. Alors tr π(f ∗ m α ) =
ν ˇ
α(ν)
m tr π ν (f V 1 ˜
K V ). Pour ν intervenant dans cette somme, avec ν = ν 0 ,
ˇ
α(ν)
m tend vers 0 quand m tend vers l’infini. On utilise alors l’hypothèse de
convergence absolue pour montrer que quand m tend vers l’infini cette somme
converge vers tr π ν0 (f V 1
V
˜
K
). On a ainsi montré (i).
Montrons (ii). On fixe ν 0 et f V ∈ F. On fixe aussi un ensemble de K-types
qui sont les K
V types triviaux hors de V et tel que f V se transforme suivant ces