X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1211
sans aucune autre hypothèse qu’il n’y a qu’un nombre fini d’éléments de la base
endoscopique ayant une trace non nulle sur des fonctions bi-invariantes sous K
Mv :
on sait, d’après la finitude démontrée en [XI].4.1 qu’il n’y a qu’un nombre fini de ωreprésentations elliptiques simples de ˜
M v ayant ces propriétés. Les représentations
elliptiques simples forment une base orthogonale et la même propriété est donc
vraie pour toute autre base orthogonale, par un calcul élémentaire de changement
de bases. Donc les finitudes en (ii) et (iii) ne portent que sur les caractères centraux.
Mais le caractère central étant est le même pour les deux bases on a clairement
l’équivalence. On récrit cette démonstration sous forme de remarque car elle nous
reservira :
Remarque. (ii) et (iii) du lemme précédent sont encore équivalentes à ce que pour
un espace de Levi fixé, × v∈V ˜
M v et pour un ensemble fini de K V -types fixé, il n’y
a qu’un nombre fini de caractères centraux des M v , pour v, une place finie dans V ,
intervenant réellement dans le calcul de la trace de π sur des fonctions sur ˜
G(F v )
se transformant sur au moins l’un de ces K v -types.
Les représentations semi-finies et la partie discrète de la formule des traces
On fixe V un ensemble fini de places contenant les places archimédiennes. On
reprend la notation I
˜
G
disc (ω, f V 1 ˜
K V ) pour la partie discrète de la formule des traces.
Remarque. Cette distribution s’exprime comme la trace d’une représentation semifinie.
Ceci est loin d’être évident mais les arguments sont déjà dans la littérature
comme on va l’expliquer. Le premier point qu’il nous faut est la propriété suivante.
On fixe un ensemble fini de K ∞ -types. Soit π une des représentations irréductibles
intervenant dans I disc ; on suppose que π ∞ a au moins un K ∞ -type dans l’ensemble
fixé. Alors la partie réelle du caractère infinitésimal de π est bornée indépendamment de π. C’est utilisé en [20] preuve de 4.1 qu’on peut remonter à [8] fin de
la preuve de 6.5. Faute de référence dans ces citations (le résultat doit être bien
connu des experts dès la fin des années 80, cf. [1] (4) du corollaire 7.2), on explique le résultat ainsi : une représentation unitaire, π, est unitairement induite
à partir d’une représentation unitaire, π
d’un de ses sous-groupes de Levi ayant
un caractère infinitésimal réel (voir [77] paragraphe 3). Pour les représentations
unitaires, Müller a montré en [66] (8.1) qui renvoie à (3.4) (et qui n’est pas difficile) que pour π
une représentation unitaire d’un groupe de Lie réel et pour σ
l’un de ses K ∞ -types l’action de l’opérateur de Casimir agissant sur π
est bornée
par l’action du Laplacien de K ∞ agissant sur σ. Avec l’hypothèse que le caractère
infinitésimal de π
est réel cela borne ce caractère infinitésimal. Comme le fait que
l’on impose à π de contenir au moins certains K ∞ -types se propage à π
(pour
des types qui dépendent du sous-groupe de Levi mais pas des représentations), on
obtient l’assertion.
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sans aucune autre hypothèse qu’il n’y a qu’un nombre fini d’éléments de la base
endoscopique ayant une trace non nulle sur des fonctions bi-invariantes sous K
Mv :
on sait, d’après la finitude démontrée en [XI].4.1 qu’il n’y a qu’un nombre fini de ωreprésentations elliptiques simples de ˜
M v ayant ces propriétés. Les représentations
elliptiques simples forment une base orthogonale et la même propriété est donc
vraie pour toute autre base orthogonale, par un calcul élémentaire de changement
de bases. Donc les finitudes en (ii) et (iii) ne portent que sur les caractères centraux.
Mais le caractère central étant est le même pour les deux bases on a clairement
l’équivalence. On récrit cette démonstration sous forme de remarque car elle nous
reservira :
Remarque. (ii) et (iii) du lemme précédent sont encore équivalentes à ce que pour
un espace de Levi fixé, × v∈V ˜
M v et pour un ensemble fini de K V -types fixé, il n’y
a qu’un nombre fini de caractères centraux des M v , pour v, une place finie dans V ,
intervenant réellement dans le calcul de la trace de π sur des fonctions sur ˜
G(F v )
se transformant sur au moins l’un de ces K v -types.
Les représentations semi-finies et la partie discrète de la formule des traces
On fixe V un ensemble fini de places contenant les places archimédiennes. On
reprend la notation I
˜
G
disc (ω, f V 1 ˜
K V ) pour la partie discrète de la formule des traces.
Remarque. Cette distribution s’exprime comme la trace d’une représentation semifinie.
Ceci est loin d’être évident mais les arguments sont déjà dans la littérature
comme on va l’expliquer. Le premier point qu’il nous faut est la propriété suivante.
On fixe un ensemble fini de K ∞ -types. Soit π une des représentations irréductibles
intervenant dans I disc ; on suppose que π ∞ a au moins un K ∞ -type dans l’ensemble
fixé. Alors la partie réelle du caractère infinitésimal de π est bornée indépendamment de π. C’est utilisé en [20] preuve de 4.1 qu’on peut remonter à [8] fin de
la preuve de 6.5. Faute de référence dans ces citations (le résultat doit être bien
connu des experts dès la fin des années 80, cf. [1] (4) du corollaire 7.2), on explique le résultat ainsi : une représentation unitaire, π, est unitairement induite
à partir d’une représentation unitaire, π
d’un de ses sous-groupes de Levi ayant
un caractère infinitésimal réel (voir [77] paragraphe 3). Pour les représentations
unitaires, Müller a montré en [66] (8.1) qui renvoie à (3.4) (et qui n’est pas difficile) que pour π
une représentation unitaire d’un groupe de Lie réel et pour σ
l’un de ses K ∞ -types l’action de l’opérateur de Casimir agissant sur π
est bornée
par l’action du Laplacien de K ∞ agissant sur σ. Avec l’hypothèse que le caractère
infinitésimal de π
est réel cela borne ce caractère infinitésimal. Comme le fait que
l’on impose à π de contenir au moins certains K ∞ -types se propage à π
(pour
des types qui dépendent du sous-groupe de Levi mais pas des représentations), on
obtient l’assertion.