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Chapitre X. Stabilisation spectrale
où M
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
M v (à automorphismes près) et le terme indexé par M
est le transfert à ˜
M v des représentations elliptiques stables de cette donnée avec un caractère central qui se transfère
en μ v . On fixe une base des représentations elliptiques stables d’une telle donnée
endoscopiques en considérant la projection sur la partie stable I cusp,st (M
) des représentations elliptiques simples (c’est-à-dire correspondant à un triplet essentiel)
et par transfert et en faisant varier les données endoscopiques, on construit une
base des représentations elliptiques de ˜
M v . On fait ensuite le produit sur toutes les
places v ∈ V et on obtient une base des ω-représentations de ˜
G(A) non ramifiées
hors de V . Ici il n’y a pas d’hypothèse d’automorphie. C’est ce que l’on appelle
la base endoscopique des représentations non ramifiées hors de V . On pourrait
d’ailleurs prendre n’importe quelle base du moment que ses éléments aient un
caractère central et que la base soit orthogonale.
Lemme. Soient V un ensemble fini de places contenant V ram , un caractère c
V
de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V et un caractère infinitésimal ν. Soit π
une ω-représentation (au sens de X.5.3, c’est-à-dire que π est une combinaison
linéaire à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles) non ramifiée
hors de V , associée au caractère c
V hors de V , de caractère infinitésimal ν. Alors
les conditions ci-dessous sont équivalentes :
(i) pour tout ensemble fini de K V types, π n’a qu’un nombre fini de composantes
irréductibles dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au
moins l’un de ces K V -types ;
(ii) en écrivant π dans la base des modules standard, π n’a qu’un nombre fini de
composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au
moins l’un de ces K V -types ;
(iii) en écrivant π dans la base endoscopique, π n’a qu’un nombre fini de composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au moins
l’un de ces K V -types.
En d’autres termes le (iv) de la définition de X.5.3 est équivalent aux assertions analogues où on écrit π dans n’importe laquelle des trois bases, le seul point
étant que la notion même d’écriture dans les bases semi-standard et endoscopique
nécessite d’avoir d’abord fixé V ; il n’est pas utile d’avoir fixé c
V et ν.
Montrons cela. L’équivalence de (i) et (ii) vient du fait que quand on décompose une ω-représentation locale en module standard, et vice et versa, on reste dans
la même composante de Bernstein. Et (i) et (ii) sont équivalentes à dire qu’avec
les hypothèses faites pour chaque composante de Bernstein fixé, les composantes
de π dans cette composante de Bernstein sont en nombre fini.
Montrons l’équivalence de (ii) et de (iii). Ce n’est un problème qu’aux places
finies de V , puisque le caractère infinitésimal est fixé et que la situation hors de
V est aussi fixée. On fixe v une place finie dans V . Soit ˜
M v un espace de Levi de
˜
G(F v ). Pour tout v, place finie dans V , on fixe un caractère central de M v , μ v .
On fixe aussi un sous-groupe compact ouvert K
Mv de M v et on montre d’abord
Chapitre X. Stabilisation spectrale
où M
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de ˜
M v (à automorphismes près) et le terme indexé par M
est le transfert à ˜
M v des représentations elliptiques stables de cette donnée avec un caractère central qui se transfère
en μ v . On fixe une base des représentations elliptiques stables d’une telle donnée
endoscopiques en considérant la projection sur la partie stable I cusp,st (M
) des représentations elliptiques simples (c’est-à-dire correspondant à un triplet essentiel)
et par transfert et en faisant varier les données endoscopiques, on construit une
base des représentations elliptiques de ˜
M v . On fait ensuite le produit sur toutes les
places v ∈ V et on obtient une base des ω-représentations de ˜
G(A) non ramifiées
hors de V . Ici il n’y a pas d’hypothèse d’automorphie. C’est ce que l’on appelle
la base endoscopique des représentations non ramifiées hors de V . On pourrait
d’ailleurs prendre n’importe quelle base du moment que ses éléments aient un
caractère central et que la base soit orthogonale.
Lemme. Soient V un ensemble fini de places contenant V ram , un caractère c
V
de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V et un caractère infinitésimal ν. Soit π
une ω-représentation (au sens de X.5.3, c’est-à-dire que π est une combinaison
linéaire à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles) non ramifiée
hors de V , associée au caractère c
V hors de V , de caractère infinitésimal ν. Alors
les conditions ci-dessous sont équivalentes :
(i) pour tout ensemble fini de K V types, π n’a qu’un nombre fini de composantes
irréductibles dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au
moins l’un de ces K V -types ;
(ii) en écrivant π dans la base des modules standard, π n’a qu’un nombre fini de
composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au
moins l’un de ces K V -types ;
(iii) en écrivant π dans la base endoscopique, π n’a qu’un nombre fini de composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au moins
l’un de ces K V -types.
En d’autres termes le (iv) de la définition de X.5.3 est équivalent aux assertions analogues où on écrit π dans n’importe laquelle des trois bases, le seul point
étant que la notion même d’écriture dans les bases semi-standard et endoscopique
nécessite d’avoir d’abord fixé V ; il n’est pas utile d’avoir fixé c
V et ν.
Montrons cela. L’équivalence de (i) et (ii) vient du fait que quand on décompose une ω-représentation locale en module standard, et vice et versa, on reste dans
la même composante de Bernstein. Et (i) et (ii) sont équivalentes à dire qu’avec
les hypothèses faites pour chaque composante de Bernstein fixé, les composantes
de π dans cette composante de Bernstein sont en nombre fini.
Montrons l’équivalence de (ii) et de (iii). Ce n’est un problème qu’aux places
finies de V , puisque le caractère infinitésimal est fixé et que la situation hors de
V est aussi fixée. On fixe v une place finie dans V . Soit ˜
M v un espace de Levi de
˜
G(F v ). Pour tout v, place finie dans V , on fixe un caractère central de M v , μ v .
On fixe aussi un sous-groupe compact ouvert K
Mv de M v et on montre d’abord