X.5. Le côté spectral de la formule des traces
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tral de la z-extension. Alors Z contient naturellement C 1 et il existe un caractère
λ de Z prolongeant le caractère de C 1 défini par la z-extension tel que l’on ait
l’invariance des facteurs de transfert : pour tous δ 1 , γ des éléments semi-simples
fortement réguliers dans G
1 et ˜
G et pour tout (z
1 , z) ∈ Z
Δ(z
1 δ 1 , zγ) = λ(z
1 , z)
−1 Δ(δ 1 , γ).
On aura aussi besoin du fait qu’une représentation stable de longueur finie de G
est somme de représentations stables ayant des caractères centraux et on appliquera tout ce qui précède non pas à ˜
G mais à des sous-espaces de Levi de ˜
G où le
centre, comme on va le voir, joue un rôle assez important.
Dans la définition de semi-finie, on a utilisé l’écriture de ω-représentations
sur la base des représentations irréductibles. Pour le transfert, une autre base est
mieux adaptée, c’est la base dite endoscopique que l’on va décrire ci-dessous. Et
on va montrer que la définition donnée est exactement équivalente à la même
définition donnée en termes de cette base. Avant de pouvoir introduire cette base,
on introduit la base des modules standard.
Un module standard se définit d’abord localement, c’est-à-dire que l’on fixe
une place v et c’est alors la donnée d’un couple ( ˜
M v , τ v ) où ˜
M v est un espace de
Levi de ˜
G(F v ) et τ v est une représentation elliptique simple de ˜
M , c’est-à-dire
associé à un triplet essentiel de ˜
M v en [81] 2.12. On ne regarde ces couples qu’à
conjugaison près sous G(F v ). Le module standard local est la ω-représentation
obtenue en induisant τ v à partir d’un espace parabolique d’espace de Levi ˜
M v .
Comme on ne s’intéresse qu’aux traces des ω-représentations, ceci est bien défini
indépendamment des choix possibles. Pour passer au global, il faut d’abord fixer un
ensemble fini de places V contenant V ram et hors de V on fixe une ω-représentation
non ramifiée. Pour tout v ∈ V on fixe un module standard et on fait le produit
tensoriel des représentations non ramifiées fixées hors de V et des modules standard
dans V ; il n’y a pas de condition locale/globale pour les choix, en particulier les
différents ˜
M v n’ont aucune raison d’être les localisés d’un espace de Levi défini
globalement. Quand V est fixé on appelle un tel module standard un module
standard dans V
Fixons V , les traces tordues des modules standard forment elles-aussi une
base de l’espace vectoriel engendré par les formes linéaires qui sont les traces des
ω-représentations non ramifiées hors de V .
On définit encore une autre base des ω-représentations non ramifiées hors de
V . Pour tout v ∈ V , et pour tout espace de Levi ˜
M v , pour tout caractère du centre
de M v , μ v , la théorie des pseudo-coefficients permet d’identifier I cusp,μv ( ˜
M v , ω) à
l’espace des combinaisons linéaires de représentations elliptiques de ˜
M v de caractère central μ v . On considère la décomposition orthogonale, pour le produit
scalaire elliptique,
I cusp,μv ( ˜
M v , ω) ⊕ M I cusp,μv ( ˜
M v ; M
),
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tral de la z-extension. Alors Z contient naturellement C 1 et il existe un caractère
λ de Z prolongeant le caractère de C 1 défini par la z-extension tel que l’on ait
l’invariance des facteurs de transfert : pour tous δ 1 , γ des éléments semi-simples
fortement réguliers dans G
1 et ˜
G et pour tout (z
1 , z) ∈ Z
Δ(z
1 δ 1 , zγ) = λ(z
1 , z)
−1 Δ(δ 1 , γ).
On aura aussi besoin du fait qu’une représentation stable de longueur finie de G
est somme de représentations stables ayant des caractères centraux et on appliquera tout ce qui précède non pas à ˜
G mais à des sous-espaces de Levi de ˜
G où le
centre, comme on va le voir, joue un rôle assez important.
Dans la définition de semi-finie, on a utilisé l’écriture de ω-représentations
sur la base des représentations irréductibles. Pour le transfert, une autre base est
mieux adaptée, c’est la base dite endoscopique que l’on va décrire ci-dessous. Et
on va montrer que la définition donnée est exactement équivalente à la même
définition donnée en termes de cette base. Avant de pouvoir introduire cette base,
on introduit la base des modules standard.
Un module standard se définit d’abord localement, c’est-à-dire que l’on fixe
une place v et c’est alors la donnée d’un couple ( ˜
M v , τ v ) où ˜
M v est un espace de
Levi de ˜
G(F v ) et τ v est une représentation elliptique simple de ˜
M , c’est-à-dire
associé à un triplet essentiel de ˜
M v en [81] 2.12. On ne regarde ces couples qu’à
conjugaison près sous G(F v ). Le module standard local est la ω-représentation
obtenue en induisant τ v à partir d’un espace parabolique d’espace de Levi ˜
M v .
Comme on ne s’intéresse qu’aux traces des ω-représentations, ceci est bien défini
indépendamment des choix possibles. Pour passer au global, il faut d’abord fixer un
ensemble fini de places V contenant V ram et hors de V on fixe une ω-représentation
non ramifiée. Pour tout v ∈ V on fixe un module standard et on fait le produit
tensoriel des représentations non ramifiées fixées hors de V et des modules standard
dans V ; il n’y a pas de condition locale/globale pour les choix, en particulier les
différents ˜
M v n’ont aucune raison d’être les localisés d’un espace de Levi défini
globalement. Quand V est fixé on appelle un tel module standard un module
standard dans V
Fixons V , les traces tordues des modules standard forment elles-aussi une
base de l’espace vectoriel engendré par les formes linéaires qui sont les traces des
ω-représentations non ramifiées hors de V .
On définit encore une autre base des ω-représentations non ramifiées hors de
V . Pour tout v ∈ V , et pour tout espace de Levi ˜
M v , pour tout caractère du centre
de M v , μ v , la théorie des pseudo-coefficients permet d’identifier I cusp,μv ( ˜
M v , ω) à
l’espace des combinaisons linéaires de représentations elliptiques de ˜
M v de caractère central μ v . On considère la décomposition orthogonale, pour le produit
scalaire elliptique,
I cusp,μv ( ˜
M v , ω) ⊕ M I cusp,μv ( ˜
M v ; M
),