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Chapitre X. Stabilisation spectrale
(v) pour ν un caractère infinitésimal fixé, on note π
K
ν la somme des ω-représentations irréductibles intervenant dans π ayant une trace non nulle sur les
fonctions se transformant selon des K-types dans K et ayant pour caractère
infinitésimal ν. Cette représentation est de longueur finie d’après les propriétés demandées et on demande en plus que la somme sur ν des traces de ces
représentations évaluées sur des fonctions f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )), se transformant
selon des K-types inclus dans l’ensemble fixé K, converge absolument.
Fixons π une représentation semi-finie et V un ensemble fini de places. On
suppose que toutes les composantes de π sont non ramifiées hors de V . On décompose alors π =
ν π ν où π ν est la somme des termes de caractère infinitésimal
ν et pour ν fixé on décompose π ν =
c V π ν (c
V ), où c
V parcourt l’ensemble des
caractères des algèbres de Hecke sphériques hors de V .
Soit M
une donnée endoscopique de ˜
G que l’on ne suppose pas elliptique
mais que l’on suppose relevante ; plus exactement on note M
1 une donnée auxiliaire
relative à cette donnée endoscopique de sorte que le groupe M
(de la donnée
endoscopique) soit plongé dans le groupe dual,
L M
1 de M
1 ; ainsi M
1 est une
extension par un tore induit du groupe M
de la donnée endoscopique M
et il
existe un caractère de ce tore (donné par M
et le plongement de M
dans
L M
1 )
tel que tous les objets attachés à M
1 intervenant dans l’endoscopie définie par
M
se transforment par ce caractère sous l’action du tore induit. Surtout pour
ce que l’on fait ici, on peut simplifier les notations en ”oubliant” que ˜
M
= ˜
M
1 :
au lieu d’objets attachés à ˜
M
1 se transformant selon ce caractère, on parlera
symboliquement d’objets attachés à M
. A tout caractère infinitésimal ν
de M
est associé un caractère infinitésimal ν de G tel que le transfert d’un paquet stable
de représentations de M
de caractère infinitésimal ν
à un espace de Levi de ˜
G ait
ν pour caractère infinitésimal. On écrira ν
→ ν pour signifier cette relation qui
n’est ni injective ni surjective. Soit aussi c
V un caractère de l’algèbre de Hecke
sphérique de M
hors de V . Par la correspondance de Langlands, cela définit
un caractère pour l’algèbre de Hecke sphérique hors de V de ˜
G. On note encore
c
V
→ c
V cette relation qui n’est là aussi ni injective ni surjective.
X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies
Dans ce paragraphe on utilise le fait que le transfert spectral est compatible au
transfert des caractères centraux ; pour la commodité du lecteur on rappelle ce
résultat qui est évidemment conséquence d’une propriété des facteurs de transfert
démontrée par Kottwitz et Shelstad en [48] page 53 : ici on est dans une situation locale mais on laisse tomber l’indice v de la place fixée. Soit G
une donnée
endoscopique de ˜
G et on a vraiment besoin d’introduire des données auxiliaires,
c’est-à-dire une z-extension G
1 de G
. Il existe une application naturelle surjective
de Z(G
1 ) sur Z(G
) et une application naturelle de Z(G) dans Z(G
) de noyau
(1 − θ)(T ) ∩ Z(G), T étant le tore sous-jacent à un tore tordu maximal ˜
T de ˜
G.
On note Z, le produit fibré de Z(G
1 ) et Z(G) sur Z(G
) et on note C 1 le tore cen-
Chapitre X. Stabilisation spectrale
(v) pour ν un caractère infinitésimal fixé, on note π
K
ν la somme des ω-représentations irréductibles intervenant dans π ayant une trace non nulle sur les
fonctions se transformant selon des K-types dans K et ayant pour caractère
infinitésimal ν. Cette représentation est de longueur finie d’après les propriétés demandées et on demande en plus que la somme sur ν des traces de ces
représentations évaluées sur des fonctions f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )), se transformant
selon des K-types inclus dans l’ensemble fixé K, converge absolument.
Fixons π une représentation semi-finie et V un ensemble fini de places. On
suppose que toutes les composantes de π sont non ramifiées hors de V . On décompose alors π =
ν π ν où π ν est la somme des termes de caractère infinitésimal
ν et pour ν fixé on décompose π ν =
c V π ν (c
V ), où c
V parcourt l’ensemble des
caractères des algèbres de Hecke sphériques hors de V .
Soit M
une donnée endoscopique de ˜
G que l’on ne suppose pas elliptique
mais que l’on suppose relevante ; plus exactement on note M
1 une donnée auxiliaire
relative à cette donnée endoscopique de sorte que le groupe M
(de la donnée
endoscopique) soit plongé dans le groupe dual,
L M
1 de M
1 ; ainsi M
1 est une
extension par un tore induit du groupe M
de la donnée endoscopique M
et il
existe un caractère de ce tore (donné par M
et le plongement de M
dans
L M
1 )
tel que tous les objets attachés à M
1 intervenant dans l’endoscopie définie par
M
se transforment par ce caractère sous l’action du tore induit. Surtout pour
ce que l’on fait ici, on peut simplifier les notations en ”oubliant” que ˜
M
= ˜
M
1 :
au lieu d’objets attachés à ˜
M
1 se transformant selon ce caractère, on parlera
symboliquement d’objets attachés à M
. A tout caractère infinitésimal ν
de M
est associé un caractère infinitésimal ν de G tel que le transfert d’un paquet stable
de représentations de M
de caractère infinitésimal ν
à un espace de Levi de ˜
G ait
ν pour caractère infinitésimal. On écrira ν
→ ν pour signifier cette relation qui
n’est ni injective ni surjective. Soit aussi c
V un caractère de l’algèbre de Hecke
sphérique de M
hors de V . Par la correspondance de Langlands, cela définit
un caractère pour l’algèbre de Hecke sphérique hors de V de ˜
G. On note encore
c
V
→ c
V cette relation qui n’est là aussi ni injective ni surjective.
X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies
Dans ce paragraphe on utilise le fait que le transfert spectral est compatible au
transfert des caractères centraux ; pour la commodité du lecteur on rappelle ce
résultat qui est évidemment conséquence d’une propriété des facteurs de transfert
démontrée par Kottwitz et Shelstad en [48] page 53 : ici on est dans une situation locale mais on laisse tomber l’indice v de la place fixée. Soit G
une donnée
endoscopique de ˜
G et on a vraiment besoin d’introduire des données auxiliaires,
c’est-à-dire une z-extension G
1 de G
. Il existe une application naturelle surjective
de Z(G
1 ) sur Z(G
) et une application naturelle de Z(G) dans Z(G
) de noyau
(1 − θ)(T ) ∩ Z(G), T étant le tore sous-jacent à un tore tordu maximal ˜
T de ˜
G.
On note Z, le produit fibré de Z(G
1 ) et Z(G) sur Z(G
) et on note C 1 le tore cen-