X.5. Le côté spectral de la formule des traces
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la présentation ici est un peu différente qu’en [8] car, d’une part, on a choisi de
faire entrer ce qui est noté a
M (π) dans [8] (4.5) pour la partie ”multiplicité” dans
˜
M (noté a
M1
disc , le M 1 est notre ˜
M ) dans π
˜
M
ν,disc (c
V ) et d’autre part le r
M
M1 (π 1,λ ) a
été pris en compte dans la définition de I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
ν,disc (c
V ), f V ) dans X.4.9. Ensuite
on remplace dans l’énoncé de [8] theorem 4.4, l’intégrale sur Π(M, t) par sa valeur
donnée avant (4.5) de [8] ; cela devient une intégrale sur Π disc (M 1 , t), ce qui est
essentiellement notre formulation. La différence avec [8] est le fait que l’on n’a
pas mis de somme sur la partie imaginaire du caractère infinitésimal (le t) ; ici on
utilise les résultats de Finis, Lapid et Müller qui assurent la convergence comme
pour la formule des traces non invariantes dans le paragraphe 14.3 de [55].
Pour tout ˜
M sous espace de Levi propre de ˜
G, on a une intégrale sur iA
∗
˜
M
ce qui explique que l’on a une partie continue.
X.5.3 Représentations semi-finies
Définition
On a besoin de cette définition : soit π une ω représentation de ˜
G(A F ) ou plutôt
une combinaison linéaire formelle à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles, appelées composantes de π. On dit que π est semi-finie si les conditions
suivantes sont vérifiées :
(i) pour toute composante irréductible π
de π, les caractères infinitésimaux de π
et de ˇ
π
sont égaux(c’est-à-dire que le caractère infinitésimal est hermitien) ;
(ii) pour tout ensemble fini de K ∞ -types, K ∞ , il existe R ∈ R >0 tel que les
composantes de π dont la trace est non nulle sur des fonctions se transformant
sous au moins un de ces K ∞ -types ont toutes un caractère infinitésimal dont
la partie réelle est de norme inférieure ou égale à R ;
(iii) pour tout ensemble fini de places V contenant V ram et pour tout nombre réel
positif R
et pour tout K ∞ comme en (ii), pour tout sous-groupe compact
ouvert de × v∈V K
v (où V
est V moins les places archimédiennes), il n’existe
qu’un nombre fini de caractères de l’algèbre de Hecke sphérique, c
V hors de
V , c’est-à-dire de ⊗ v /
∈V C c (K v \ ˜
G v /K v ) et qu’un nombre fini de caractères
infinitésimaux, ν, de partie imaginaire de norme bornée par R
tels que π ait
des composantes non ramifiées hors de V , associées au caractère c
V , ayant
comme caractère infinitésimal ν, ayant des K ∞ -types dans K ∞ et dont la
trace n’annule pas identiquement les fonctions bi-invariantes dans × v∈V K
v ;
(iv) pour tout ensemble fini V de places contenant V ram , pour tout caractère
infinitésimal ν, et pour tout ensemble fini de K V -types, K V , il n’existe qu’un
nombre fini de composantes de π de caractère infinitésimal ν, non ramifiées
hors de V et associées au caractère c
V hors de V et de trace non identiquement
nulle sur l’espace des fonctions se transformant sous au moins un de ces K V -
types ;
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la présentation ici est un peu différente qu’en [8] car, d’une part, on a choisi de
faire entrer ce qui est noté a
M (π) dans [8] (4.5) pour la partie ”multiplicité” dans
˜
M (noté a
M1
disc , le M 1 est notre ˜
M ) dans π
˜
M
ν,disc (c
V ) et d’autre part le r
M
M1 (π 1,λ ) a
été pris en compte dans la définition de I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
ν,disc (c
V ), f V ) dans X.4.9. Ensuite
on remplace dans l’énoncé de [8] theorem 4.4, l’intégrale sur Π(M, t) par sa valeur
donnée avant (4.5) de [8] ; cela devient une intégrale sur Π disc (M 1 , t), ce qui est
essentiellement notre formulation. La différence avec [8] est le fait que l’on n’a
pas mis de somme sur la partie imaginaire du caractère infinitésimal (le t) ; ici on
utilise les résultats de Finis, Lapid et Müller qui assurent la convergence comme
pour la formule des traces non invariantes dans le paragraphe 14.3 de [55].
Pour tout ˜
M sous espace de Levi propre de ˜
G, on a une intégrale sur iA
∗
˜
M
ce qui explique que l’on a une partie continue.
X.5.3 Représentations semi-finies
Définition
On a besoin de cette définition : soit π une ω représentation de ˜
G(A F ) ou plutôt
une combinaison linéaire formelle à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles, appelées composantes de π. On dit que π est semi-finie si les conditions
suivantes sont vérifiées :
(i) pour toute composante irréductible π
de π, les caractères infinitésimaux de π
et de ˇ
π
sont égaux(c’est-à-dire que le caractère infinitésimal est hermitien) ;
(ii) pour tout ensemble fini de K ∞ -types, K ∞ , il existe R ∈ R >0 tel que les
composantes de π dont la trace est non nulle sur des fonctions se transformant
sous au moins un de ces K ∞ -types ont toutes un caractère infinitésimal dont
la partie réelle est de norme inférieure ou égale à R ;
(iii) pour tout ensemble fini de places V contenant V ram et pour tout nombre réel
positif R
et pour tout K ∞ comme en (ii), pour tout sous-groupe compact
ouvert de × v∈V K
v (où V
est V moins les places archimédiennes), il n’existe
qu’un nombre fini de caractères de l’algèbre de Hecke sphérique, c
V hors de
V , c’est-à-dire de ⊗ v /
∈V C c (K v \ ˜
G v /K v ) et qu’un nombre fini de caractères
infinitésimaux, ν, de partie imaginaire de norme bornée par R
tels que π ait
des composantes non ramifiées hors de V , associées au caractère c
V , ayant
comme caractère infinitésimal ν, ayant des K ∞ -types dans K ∞ et dont la
trace n’annule pas identiquement les fonctions bi-invariantes dans × v∈V K
v ;
(iv) pour tout ensemble fini V de places contenant V ram , pour tout caractère
infinitésimal ν, et pour tout ensemble fini de K V -types, K V , il n’existe qu’un
nombre fini de composantes de π de caractère infinitésimal ν, non ramifiées
hors de V et associées au caractère c
V hors de V et de trace non identiquement
nulle sur l’espace des fonctions se transformant sous au moins un de ces K V -
types ;