1206
Chapitre X. Stabilisation spectrale
On note alors π disc,ν (c
V ) la ω représentation de ˜
G(A F ) qui est le produit du
scalaire | det(1 − θ) |AG/A ˜
G
|
−1 et de la somme des sous-représentations de ρ t−disc,ω
ayant des vecteurs invariants sous ˜
K
V et sur lesquelles l’algèbre enveloppante de
G(F ∞ ) opère par le caractère central ν et où toute fonction sur K
V
\G(A
V
F )/K
V
opère, sur les vecteurs ˜
K
V invariants par le caractère c
V . On voit cette représentation comme une ω V -représentation de ˜
G(F V ) en se limitant aux éléments ˜
K
V
invariants. Le scalaire | det(1 − θ) |AG/A ˜
G
|
−1 a été mis un peu formellement pour
que les formules soient cohérentes entre l’espace ˜
G et ses espaces de Levi, (cf. [VI])
D’après les constructions, cet espace de représentations se réalise dans un
espace de fonctions invariantes à gauche sous A ˜
G . On fixe λ ∈ iA
∗
˜
G
cela donne
un caractère unitaire de A ˜
G qui s’étend en un caractère unitaire de ˜
G(A F ) trivial évidemment sur G(A F )
1 . On note alors π disc,ν,λ (c
V ) le produit tensoriel de
ce caractère λ avec π disc,ν (c
V ) et on voit cette représentation comme une ω V -
représentation de ˜
G(F V ). Il faut faire attention aux places hors de V , ce n’est plus
c
V le caractère de l’algèbre de Hecke sphérique mais c
V
⊗ λ. C’est la distribution
suivante sur laquelle on a prise via la formule des traces :
(1)
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) → tr π disc,ν,λ (c
V )(f V ).
On a évidemment π disc,ν,λ+μ (c
V ) = π disc,ν,λ (c
V ) ⊗ μ pour tout λ, μ ∈ iA
∗
˜
G
.
Mais dans la formule des traces, c’est le coefficient de Fourier de cette distribution qui intervient : pour X ∈ A ˜
G , on définit la distribution, ∀f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
I ν (c
V , X, f V ) :=
λ∈iA ∗
˜
G
dλ tr π disc,ν,λ (c
V )(f V )e
−λ(X) .
Et la partie discrète de la formule des traces invariante dans V est la distribution ⊕ ν,c V I ν (c
V , 0, f V ), ce qui veut dire que l’on ne considère que les traces des
représentations restreintes à ˜
G(F V ) ˜
K
V
∩ G(A)
1 ˜
G(F ).
X.5.2 Rappel des termes continus
On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G ; on généralise la définition π disc,ν,λ (c
V ) en
supposant ici que ν est un caractère infinitésimal de M (F ∞ ) et c
V est un caractère
automorphe de l’algèbres de Hecke sphérique de M (A
V
F ) ; on note alors plutôt
π
˜
M
disc,ν,λ (c
V ). On a donc défini en X.4.9 la distribution sur I( ˜
G(F V ), ω),
f V → I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
disc,ν (c
V ), f V ).
La partie continue de la formule des traces invariantes est d’après [8] Theorem 4.4
la distribution sur I( ˜
G(F V ), ω) obtenue en sommant (on reviendra ci-dessous sur
les problèmes de convergence)
˜
M
w( ˜
M )
ν,c V
I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
ν,disc (c
V ), f V );
Chapitre X. Stabilisation spectrale
On note alors π disc,ν (c
V ) la ω représentation de ˜
G(A F ) qui est le produit du
scalaire | det(1 − θ) |AG/A ˜
G
|
−1 et de la somme des sous-représentations de ρ t−disc,ω
ayant des vecteurs invariants sous ˜
K
V et sur lesquelles l’algèbre enveloppante de
G(F ∞ ) opère par le caractère central ν et où toute fonction sur K
V
\G(A
V
F )/K
V
opère, sur les vecteurs ˜
K
V invariants par le caractère c
V . On voit cette représentation comme une ω V -représentation de ˜
G(F V ) en se limitant aux éléments ˜
K
V
invariants. Le scalaire | det(1 − θ) |AG/A ˜
G
|
−1 a été mis un peu formellement pour
que les formules soient cohérentes entre l’espace ˜
G et ses espaces de Levi, (cf. [VI])
D’après les constructions, cet espace de représentations se réalise dans un
espace de fonctions invariantes à gauche sous A ˜
G . On fixe λ ∈ iA
∗
˜
G
cela donne
un caractère unitaire de A ˜
G qui s’étend en un caractère unitaire de ˜
G(A F ) trivial évidemment sur G(A F )
1 . On note alors π disc,ν,λ (c
V ) le produit tensoriel de
ce caractère λ avec π disc,ν (c
V ) et on voit cette représentation comme une ω V -
représentation de ˜
G(F V ). Il faut faire attention aux places hors de V , ce n’est plus
c
V le caractère de l’algèbre de Hecke sphérique mais c
V
⊗ λ. C’est la distribution
suivante sur laquelle on a prise via la formule des traces :
(1)
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) → tr π disc,ν,λ (c
V )(f V ).
On a évidemment π disc,ν,λ+μ (c
V ) = π disc,ν,λ (c
V ) ⊗ μ pour tout λ, μ ∈ iA
∗
˜
G
.
Mais dans la formule des traces, c’est le coefficient de Fourier de cette distribution qui intervient : pour X ∈ A ˜
G , on définit la distribution, ∀f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
I ν (c
V , X, f V ) :=
λ∈iA ∗
˜
G
dλ tr π disc,ν,λ (c
V )(f V )e
−λ(X) .
Et la partie discrète de la formule des traces invariante dans V est la distribution ⊕ ν,c V I ν (c
V , 0, f V ), ce qui veut dire que l’on ne considère que les traces des
représentations restreintes à ˜
G(F V ) ˜
K
V
∩ G(A)
1 ˜
G(F ).
X.5.2 Rappel des termes continus
On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G ; on généralise la définition π disc,ν,λ (c
V ) en
supposant ici que ν est un caractère infinitésimal de M (F ∞ ) et c
V est un caractère
automorphe de l’algèbres de Hecke sphérique de M (A
V
F ) ; on note alors plutôt
π
˜
M
disc,ν,λ (c
V ). On a donc défini en X.4.9 la distribution sur I( ˜
G(F V ), ω),
f V → I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
disc,ν (c
V ), f V ).
La partie continue de la formule des traces invariantes est d’après [8] Theorem 4.4
la distribution sur I( ˜
G(F V ), ω) obtenue en sommant (on reviendra ci-dessous sur
les problèmes de convergence)
˜
M
w( ˜
M )
ν,c V
I
˜
G
˜
M
(π
˜
M
ν,disc (c
V ), f V );