X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1205
Pour cela, on note A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )) l’espace des formes automorphes de carré intégrable au sens de [63] I.2.17, invariantes pour l’action à
gauche de U P (A F )M (F )A ˜
G et de A
G
M et se transformant sous l’action à gauche de
A G par le caractère χ G . Remarquons que ω est forcément trivial sur A
G
M puisque
ce groupe est dans l’image de G SC (A F ). Puisque a → a
−1 (u.a) est une bijection
de A M /A ˜
G sur lui-même, on peut aussi dire que ces formes automorphes sont invariantes par A ˜
G et se transforment sous l’action à gauche par un élément de A M
de la forme a
−1 (u.a) (avec a ∈ A M ) par la multiplication par ω(a). Puisque ω est
unitaire, il est clair que ces formes se transforment sous l’action à gauche de A M
par un caractère unitaire.
On sait alors définir l’opérateur d’entrelacement par prolongement méromorphe
M P |u.P (0) : A
2 (U u.P (A F )M (F )A M,ω \G(A F ))
→ A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )).
Et l’action de γ sur φ est alors
ρ t−disc (γ)(φ) := M P |u.P (0)γ ω φ.
On vérifie comme ci-dessus que cela donne une ω-représentation de ˜
G(A F ) dans
l’espace A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )). On la note ρ disc,M,u,ω .
On pose w(M ) := | Norm G(F ) (M )/M (F )| et :
ρ t−disc,ω :=
M,u
w(M )
1
|det(u − 1) |AM /AG|
ρ disc,M,u,ω ,
où M parcourt l’ensemble des sous-groupes de Levi de G, pris à conjugaison près
et où u parcourt l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) normalisant M réguliers au sens
ci-dessus et pris à translation près par l’action de M (F ) opérant à gauche ou à
droite (cela n’a pas d’importance).
Définition et Notations. On fixe un ensemble fini de places, V , de F contenant
V ram . Pour tout v non dans V , on note c v un morphisme non ramifié de W Fv dans
L G(F v ), où encore
L G(F v ) désigne le L-groupe de G sur F v . On note c
V le produit
tensoriel de ces morphismes ; ainsi c
V donne une représentation non ramifiée de
G(A
V
F ) ou suivant le point de vue un caractère du produit des algèbres de Hecke
sphériques en toute place hors de V . On suppose que c
V est ω, ˆ
θ invariant. En
faisant opérer trivialement ˜
K
V sur les vecteurs K
V -invariants de la représentation,
hors de V la représentation s’étend en une représentation de ˜
G(A
V
F ) ; c’est la
normalisation, canonique, que nous utiliserons systématiquement hors de V .
Aux places archimédiennes, on fixe ν un caractère infinitésimal tel que θ(ν) =
ν +dω ; on réalise A ˜
G comme un sous-groupe du centre de G(F ∞ ) formé d’éléments
invariants sous ˜
G(F ∞ ). On suppose que ν est trivial sur l’algèbre de Lie de ce
groupe (vu comme sous espace du centre de l’algèbre enveloppante).
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Pour cela, on note A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )) l’espace des formes automorphes de carré intégrable au sens de [63] I.2.17, invariantes pour l’action à
gauche de U P (A F )M (F )A ˜
G et de A
G
M et se transformant sous l’action à gauche de
A G par le caractère χ G . Remarquons que ω est forcément trivial sur A
G
M puisque
ce groupe est dans l’image de G SC (A F ). Puisque a → a
−1 (u.a) est une bijection
de A M /A ˜
G sur lui-même, on peut aussi dire que ces formes automorphes sont invariantes par A ˜
G et se transforment sous l’action à gauche par un élément de A M
de la forme a
−1 (u.a) (avec a ∈ A M ) par la multiplication par ω(a). Puisque ω est
unitaire, il est clair que ces formes se transforment sous l’action à gauche de A M
par un caractère unitaire.
On sait alors définir l’opérateur d’entrelacement par prolongement méromorphe
M P |u.P (0) : A
2 (U u.P (A F )M (F )A M,ω \G(A F ))
→ A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )).
Et l’action de γ sur φ est alors
ρ t−disc (γ)(φ) := M P |u.P (0)γ ω φ.
On vérifie comme ci-dessus que cela donne une ω-représentation de ˜
G(A F ) dans
l’espace A
2 (U P (A F )M (F )A M,ω \G(A F )). On la note ρ disc,M,u,ω .
On pose w(M ) := | Norm G(F ) (M )/M (F )| et :
ρ t−disc,ω :=
M,u
w(M )
1
|det(u − 1) |AM /AG|
ρ disc,M,u,ω ,
où M parcourt l’ensemble des sous-groupes de Levi de G, pris à conjugaison près
et où u parcourt l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) normalisant M réguliers au sens
ci-dessus et pris à translation près par l’action de M (F ) opérant à gauche ou à
droite (cela n’a pas d’importance).
Définition et Notations. On fixe un ensemble fini de places, V , de F contenant
V ram . Pour tout v non dans V , on note c v un morphisme non ramifié de W Fv dans
L G(F v ), où encore
L G(F v ) désigne le L-groupe de G sur F v . On note c
V le produit
tensoriel de ces morphismes ; ainsi c
V donne une représentation non ramifiée de
G(A
V
F ) ou suivant le point de vue un caractère du produit des algèbres de Hecke
sphériques en toute place hors de V . On suppose que c
V est ω, ˆ
θ invariant. En
faisant opérer trivialement ˜
K
V sur les vecteurs K
V -invariants de la représentation,
hors de V la représentation s’étend en une représentation de ˜
G(A
V
F ) ; c’est la
normalisation, canonique, que nous utiliserons systématiquement hors de V .
Aux places archimédiennes, on fixe ν un caractère infinitésimal tel que θ(ν) =
ν +dω ; on réalise A ˜
G comme un sous-groupe du centre de G(F ∞ ) formé d’éléments
invariants sous ˜
G(F ∞ ). On suppose que ν est trivial sur l’algèbre de Lie de ce
groupe (vu comme sous espace du centre de l’algèbre enveloppante).