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Chapitre X. Stabilisation spectrale
sous A ˜
G unitaire et un caractère pour l’action de A G qui est θ- semi-invariant
au sens θ(χ) = χω si χ est ce caractère ; on a supposé que l’action de ˜
G(F ) sur
le centre de G(F ) est d’ordre fini et que ω est unitaire. Donc un tel caractère χ
est nécessairement unitaire et donc toute ω-représentation irréductible de ˜
G(A F )
ayant un caractère unitaire pour l’action de A ˜
G a un caractère unitaire pour l’action de A G . Remarquons qu’il y a un unique caractère χ de A G qui vérifie l’égalité
ci-dessus et qui est trivial sur A ˜
G . On le note χ G .
Le groupe des points rationnels ˜
G(F ) agit naturellement par conjugaison
dans l’ensemble des formes automorphes se transformant par le caractère χ G de
A G et de carré intégrable modulo A G et on pose pour toute telle forme automorphe
de carré intégrable φ, pour tout g ∈ G(A F ), γ ∈ ˜
G(A F )
ρ
˜
G
disc (γ, ω)φ(g) = ω(δ
−1 gγ)φ(δ
−1 gγ),
où δ est n’importe quel élément de ˜
G(F ) et où δ
−1 gγ ∈ G(A F ) est défini par l’égalité gγ = δ(δ
−1 gγ) dans ˜
G(A F ). On remarque que cette formule est indépendante
de δ.
Soit x, y ∈ G(A F ) est appliquons cette formule avec γ remplacé par xγy :
ρ
˜
G
disc (xγy, ω)φ(g) = ω(δ
−1 gxγy)φ(δ
−1 gxγy) = ω(y)ω(δ
−1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ
−1 gxγ).
Or
ω(δ
−1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ
−1 gxγ) = ρ
˜
G
disc (γ, ω)(ρ(y)φ)(gx).
D’où
ρ
˜
G
disc (xγy, ω)φ(g) = ω(y)ρ(x)ρ
˜
G
disc (γ, ω)(ρ(y)φ)(g).
ce qui est bien une ω représentation.
Les autres termes à ajouter pour avoir la partie discrète de la formule spectrale viennent des sous groupes de Levi de G, M tel que Norm ˜
G(F ) M non seulement est non vide mais en plus contient un élément régulier, c’est-à-dire un élément
u qui agit sans point fixe sur A
∗
M /A
∗
˜
G
. Soit u un tel élément. La partie discrète
associée à M et u est écrite en [55] dans la section 14.3 (avant l’énoncé de 14.3.2)
dans le cas non invariant. Rappelons la construction. On fixe un sous-groupe parabolique P de G de sous-groupe de Levi M ; on note u.P le sous-groupe parabolique
de G obtenu en conjuguant P par u. On note, pour tout sous-groupe parabolique
Q de G de sous-groupe de Levi M , U Q son radical unipotent.
Soit φ une fonction sur G(A F ) invariante à gauche sous M (F )U P (A F ). Pour
tout γ ∈ ˜
G(A F ), on définit la fonction γ ω .φ en posant pour tout g ∈ G(A F ) :
(γ ω .φ)(g) = ω(u
−1 gγ)φ(u
−1 gγ).
C’est une fonction sur G(A F ) invariante à gauche sous M (F )U u.P (A F ).
Pour revenir en une fonction invariante à gauche sous M (F )U P (A F ) on utilise
l’opérateur d’entrelacement standard. Pour que cette opérateur soit holomorphe
il suffit que φ se transforme à gauche sous A M par un caractère unitaire.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
sous A ˜
G unitaire et un caractère pour l’action de A G qui est θ- semi-invariant
au sens θ(χ) = χω si χ est ce caractère ; on a supposé que l’action de ˜
G(F ) sur
le centre de G(F ) est d’ordre fini et que ω est unitaire. Donc un tel caractère χ
est nécessairement unitaire et donc toute ω-représentation irréductible de ˜
G(A F )
ayant un caractère unitaire pour l’action de A ˜
G a un caractère unitaire pour l’action de A G . Remarquons qu’il y a un unique caractère χ de A G qui vérifie l’égalité
ci-dessus et qui est trivial sur A ˜
G . On le note χ G .
Le groupe des points rationnels ˜
G(F ) agit naturellement par conjugaison
dans l’ensemble des formes automorphes se transformant par le caractère χ G de
A G et de carré intégrable modulo A G et on pose pour toute telle forme automorphe
de carré intégrable φ, pour tout g ∈ G(A F ), γ ∈ ˜
G(A F )
ρ
˜
G
disc (γ, ω)φ(g) = ω(δ
−1 gγ)φ(δ
−1 gγ),
où δ est n’importe quel élément de ˜
G(F ) et où δ
−1 gγ ∈ G(A F ) est défini par l’égalité gγ = δ(δ
−1 gγ) dans ˜
G(A F ). On remarque que cette formule est indépendante
de δ.
Soit x, y ∈ G(A F ) est appliquons cette formule avec γ remplacé par xγy :
ρ
˜
G
disc (xγy, ω)φ(g) = ω(δ
−1 gxγy)φ(δ
−1 gxγy) = ω(y)ω(δ
−1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ
−1 gxγ).
Or
ω(δ
−1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ
−1 gxγ) = ρ
˜
G
disc (γ, ω)(ρ(y)φ)(gx).
D’où
ρ
˜
G
disc (xγy, ω)φ(g) = ω(y)ρ(x)ρ
˜
G
disc (γ, ω)(ρ(y)φ)(g).
ce qui est bien une ω représentation.
Les autres termes à ajouter pour avoir la partie discrète de la formule spectrale viennent des sous groupes de Levi de G, M tel que Norm ˜
G(F ) M non seulement est non vide mais en plus contient un élément régulier, c’est-à-dire un élément
u qui agit sans point fixe sur A
∗
M /A
∗
˜
G
. Soit u un tel élément. La partie discrète
associée à M et u est écrite en [55] dans la section 14.3 (avant l’énoncé de 14.3.2)
dans le cas non invariant. Rappelons la construction. On fixe un sous-groupe parabolique P de G de sous-groupe de Levi M ; on note u.P le sous-groupe parabolique
de G obtenu en conjuguant P par u. On note, pour tout sous-groupe parabolique
Q de G de sous-groupe de Levi M , U Q son radical unipotent.
Soit φ une fonction sur G(A F ) invariante à gauche sous M (F )U P (A F ). Pour
tout γ ∈ ˜
G(A F ), on définit la fonction γ ω .φ en posant pour tout g ∈ G(A F ) :
(γ ω .φ)(g) = ω(u
−1 gγ)φ(u
−1 gγ).
C’est une fonction sur G(A F ) invariante à gauche sous M (F )U u.P (A F ).
Pour revenir en une fonction invariante à gauche sous M (F )U P (A F ) on utilise
l’opérateur d’entrelacement standard. Pour que cette opérateur soit holomorphe
il suffit que φ se transforme à gauche sous A M par un caractère unitaire.