X.5. Le côté spectral de la formule des traces
1203
Si M
n’est pas relevant tous les termes (5) sont nuls d’après 4.7. On est donc
ramené au cas où M
est relevant. Dans ce cas là, les L
sont aussi relevants et on
note ˜
L l’espace de Levi de ˜
G correspondant et, d’après X.4.1, on a :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ˆ
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˆ
L, ˆ
L
(ˆ s))s
L
(ˆ s)
M (c
V
λ ) = r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ),
où c
V
λ est l’image de c
V
λ dans le L-groupe de M via l’inclusion de M
dans
ce groupe. On utilise encore la proposition de X.4.8 pour transformer (5) en
I
˜
G
˜
L
(ind
˜
L
˜
M
π V , 0, 0, f V ). Et on obtient exactement (1), ce qui prouve la proposition.
Oublions l’espace de Levi ˜
M et considérons une donnée endoscopique M
de
˜
G, ω qui ne correspond à aucun espace de Levi de ˜
G. Soit π
V et c
V comme cidessus. On peut associer à M
un Levi ˆ
M de ˆ
G. On définit encore I
˜
G,E
M (π
V ⊗c
V , f V )
par la formule (3) qui conserve un sens. La même preuve que ci-dessus montre que :
Proposition. Sous ces hypothèses,
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V ) = 0.
X.5 Le côté spectral de la formule des traces
X.5.1 Rappel des termes discrets
Il y a deux notions pour ”discret” en ce qui concerne les représentations automorphes ; la notion habituelle est que ce sont les représentations intervenant discrètement dans la décomposition spectrale des fonctions de carré intégrable. L’autre
notion qui nous concerne ici est le fait que ces représentations interviennent dans
la partie discrète de la formule des traces, qui va être décrite ci-dessous. Il serait
plus logique mais beaucoup trop lourd de distinguer en parlant de représentations
discrètes pour les premières et de représentation t-discrète pour les secondes. On
va quand même le faire dans ce paragraphe, en utilisant la notation générique
ρ pour les représentations puis on posera π disc = ρ t−disc et donc le disc utilisé
avec π sera pour les représentations t-discrètes et c’est la notation qui sera ensuite
utilisée.
On reprend [55] 6.1.
On ne peut pas parler de représentations discrètes sans caractère unitaire du
centre du groupe. Pour faire simple (et pas le plus général possible) on reprend les
définitions A G et A ˜
G introduites en [VI] fin de 1.3 : pour A G c’est la composante
neutre topologique des points sur R d’un tore déployé maximal dans G vu comme
groupe sur Q et A ˜
G en est le sous-ensemble des éléments invariants sous θ. Ces
espaces s’identifient naturellement (via l’application log) à A G et A ˜
G . On utilise
alors l’inclusion diagonale de A G dans G(F ∞ ) pour identifier G(A F ) = A ˜
G G(A F )
1 .
Les représentations que nous allons considérer sont invariantes ont un caractère
1203
Si M
n’est pas relevant tous les termes (5) sont nuls d’après 4.7. On est donc
ramené au cas où M
est relevant. Dans ce cas là, les L
sont aussi relevants et on
note ˜
L l’espace de Levi de ˜
G correspondant et, d’après X.4.1, on a :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ˆ
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˆ
L, ˆ
L
(ˆ s))s
L
(ˆ s)
M (c
V
λ ) = r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ),
où c
V
λ est l’image de c
V
λ dans le L-groupe de M via l’inclusion de M
dans
ce groupe. On utilise encore la proposition de X.4.8 pour transformer (5) en
I
˜
G
˜
L
(ind
˜
L
˜
M
π V , 0, 0, f V ). Et on obtient exactement (1), ce qui prouve la proposition.
Oublions l’espace de Levi ˜
M et considérons une donnée endoscopique M
de
˜
G, ω qui ne correspond à aucun espace de Levi de ˜
G. Soit π
V et c
V comme cidessus. On peut associer à M
un Levi ˆ
M de ˆ
G. On définit encore I
˜
G,E
M (π
V ⊗c
V , f V )
par la formule (3) qui conserve un sens. La même preuve que ci-dessus montre que :
Proposition. Sous ces hypothèses,
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V ) = 0.
X.5 Le côté spectral de la formule des traces
X.5.1 Rappel des termes discrets
Il y a deux notions pour ”discret” en ce qui concerne les représentations automorphes ; la notion habituelle est que ce sont les représentations intervenant discrètement dans la décomposition spectrale des fonctions de carré intégrable. L’autre
notion qui nous concerne ici est le fait que ces représentations interviennent dans
la partie discrète de la formule des traces, qui va être décrite ci-dessous. Il serait
plus logique mais beaucoup trop lourd de distinguer en parlant de représentations
discrètes pour les premières et de représentation t-discrète pour les secondes. On
va quand même le faire dans ce paragraphe, en utilisant la notation générique
ρ pour les représentations puis on posera π disc = ρ t−disc et donc le disc utilisé
avec π sera pour les représentations t-discrètes et c’est la notation qui sera ensuite
utilisée.
On reprend [55] 6.1.
On ne peut pas parler de représentations discrètes sans caractère unitaire du
centre du groupe. Pour faire simple (et pas le plus général possible) on reprend les
définitions A G et A ˜
G introduites en [VI] fin de 1.3 : pour A G c’est la composante
neutre topologique des points sur R d’un tore déployé maximal dans G vu comme
groupe sur Q et A ˜
G en est le sous-ensemble des éléments invariants sous θ. Ces
espaces s’identifient naturellement (via l’application log) à A G et A ˜
G . On utilise
alors l’inclusion diagonale de A G dans G(F ∞ ) pour identifier G(A F ) = A ˜
G G(A F )
1 .
Les représentations que nous allons considérer sont invariantes ont un caractère