1202
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Caractères pondérés globaux endoscopiques, transfert
On ne fait plus d’hypothèses sur ˜
G et on définit aussi les variantes endoscopiques
des caractères pondérés globaux. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Soit M
une donnée endoscopique elliptique de ˜
M et π
V une représentation unitaire de
M
(F V ) que l’on suppose stable. On suppose aussi donné c
V produit tensoriel
pour tout v /
∈ V de morphisme de W Fv dans M
. Et on suppose aussi que c
V
est quasi-automorphe. Par inclusion de M
dans le L-groupe de M , on obtient un
morphisme du type de ceux considérés précédemment et on le note encore c
V . Si
M
n’est pas relevant, on pose π V = 0 et sinon on note π V la représentation de
˜
M (F V ) obtenue à partir de π
V par transfert. On pose pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(3)
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V )
=
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))(SI)
G
(ˆ s)
M (π
V ⊗ c
V , f
G
(ˆ s)
V
).
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes, pour tout
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
on a l’égalité :
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V ) = I
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f V ).
En particulier si M
n’est pas relevant le terme de gauche est nul.
Il faut montrer que le terme de gauche vérifie une propriété de descente analogue à X.4.9 (1). Pour L
une donnée endoscopique de ˜
G on dit que L
∈ L(M
)
si L
= (L
, L
, ˆ
s L ) et M
= (M
, M
, ˆ
s M ) sont telles que M
est un sous-groupe
de Levi de L
, ˆ
s L ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et L
= ˆ
L
M
. A une telle donnée on associe le
sous-groupe de Levi ˆ
L de ˆ
G défini par le fait que ˆ
L est le commutant dans ˆ
G de
Z( ˆ
L
)
ΓF ,0 . A chaque terme (SI)
G
(ˆ s)
M (π
V ⊗ c
V , f
G
(ˆ s)
V
) on applique la définition
X.4.9 (2), ce qui fait intervenir une somme sur les L
contenant M
et inclus dans
G
(ˆ s). On peut modifier l’ordre des sommes (cf [VI], 6.6) pour avoir une somme
sur les sous-groupes de Levi, ˆ
L de ˆ
G contenant ˆ
M et sur les données endoscopiques L
donnant ˆ
L puis sur les données G
(ˆ s) contenant L
: comme toujours
la somme en ˆ
s se décompose en une somme sur ˆ
s L ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ et
ˆ
s ∈ ˆ
s L Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On a déjà vu que quand on fixe L
la deuxième somme
donne le terme (5) ci-dessous et on obtient donc que le terme correspondant à un
L
fixé est
(4)
i ˜
M ( ˆ
L, ˆ
L
)
λ L ∈iA ∗
M /iA ∗
L
dλ
L
s
L
M (c
V
λ L )
(5)
I
˜
G,E
L (ind
L
M (π
V ⊗ λ
L
), 0, 0, f V ).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Caractères pondérés globaux endoscopiques, transfert
On ne fait plus d’hypothèses sur ˜
G et on définit aussi les variantes endoscopiques
des caractères pondérés globaux. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Soit M
une donnée endoscopique elliptique de ˜
M et π
V une représentation unitaire de
M
(F V ) que l’on suppose stable. On suppose aussi donné c
V produit tensoriel
pour tout v /
∈ V de morphisme de W Fv dans M
. Et on suppose aussi que c
V
est quasi-automorphe. Par inclusion de M
dans le L-groupe de M , on obtient un
morphisme du type de ceux considérés précédemment et on le note encore c
V . Si
M
n’est pas relevant, on pose π V = 0 et sinon on note π V la représentation de
˜
M (F V ) obtenue à partir de π
V par transfert. On pose pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(3)
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V )
=
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))(SI)
G
(ˆ s)
M (π
V ⊗ c
V , f
G
(ˆ s)
V
).
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes, pour tout
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
on a l’égalité :
I
˜
G,E
M (π
V ⊗ c
V , f V ) = I
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f V ).
En particulier si M
n’est pas relevant le terme de gauche est nul.
Il faut montrer que le terme de gauche vérifie une propriété de descente analogue à X.4.9 (1). Pour L
une donnée endoscopique de ˜
G on dit que L
∈ L(M
)
si L
= (L
, L
, ˆ
s L ) et M
= (M
, M
, ˆ
s M ) sont telles que M
est un sous-groupe
de Levi de L
, ˆ
s L ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et L
= ˆ
L
M
. A une telle donnée on associe le
sous-groupe de Levi ˆ
L de ˆ
G défini par le fait que ˆ
L est le commutant dans ˆ
G de
Z( ˆ
L
)
ΓF ,0 . A chaque terme (SI)
G
(ˆ s)
M (π
V ⊗ c
V , f
G
(ˆ s)
V
) on applique la définition
X.4.9 (2), ce qui fait intervenir une somme sur les L
contenant M
et inclus dans
G
(ˆ s). On peut modifier l’ordre des sommes (cf [VI], 6.6) pour avoir une somme
sur les sous-groupes de Levi, ˆ
L de ˆ
G contenant ˆ
M et sur les données endoscopiques L
donnant ˆ
L puis sur les données G
(ˆ s) contenant L
: comme toujours
la somme en ˆ
s se décompose en une somme sur ˆ
s L ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ et
ˆ
s ∈ ˆ
s L Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On a déjà vu que quand on fixe L
la deuxième somme
donne le terme (5) ci-dessous et on obtient donc que le terme correspondant à un
L
fixé est
(4)
i ˜
M ( ˆ
L, ˆ
L
)
λ L ∈iA ∗
M /iA ∗
L
dλ
L
s
L
M (c
V
λ L )
(5)
I
˜
G,E
L (ind
L
M (π
V ⊗ λ
L
), 0, 0, f V ).