X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1201
de λ dans A
∗ ˜
L
˜
M,C
. Comme on l’a dit en X.4.1, les représentations paramétrées par
c v pour tout v /
∈ V sont unitaires. La fonction méromorphe ainsi définie est donc
holomorphe en tout λ tel que λ
˜
L est imaginaire.
On fixe λ ∈ A
∗
˜
M,C
; pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), on décompose λ = λ
˜
L + λ ˜
L suivant la décomposition orthogonale A
∗
˜
M,C
= A
∗
˜
L,C
⊕ A
∗ ˜
L
˜
M,C
. Dans les paragraphes précédents,
pour toute ω représentation π V de ˜
G(F V ), on a défini la distribution
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) → I
˜
G
˜
L
ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), λ ˜
L , X ˜
L , f V
,
où X ˜
L ∈ A ˜
L . Cette distribution n’est pas partout définie, elle est localement
constante en λ ˜
L (là où elle est définie) et elle dépend méromorphiquement de λ
˜
L :
cela résulte des formules de descente. Si π V est unitaire la distribution est définie
pour λ imaginaire. On peut donc la calculer en λ ˜
L = 0.
On suppose que π V est unitaire et on revient à c
V qui est aussi unitaire ;
pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
on définit r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ). Cette fonction méromorphe de λ ne dépend
que de λ
˜
L . On définit alors pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(1)
I
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f)
=
˜
L∈L( ˜
M)
iA ∗
˜
M
/iA ∗
˜
L
dλ
˜
L r
˜
L
˜
M
(c
V
λ )I
˜
G
˜
L
ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), 0, 0, f V
.
Cette intégrale converge grâce à X.4.1. C’est le caractère pondéré global.
Caractères pondérés globaux stables (cas de la torsion intérieure)
Dans ce paragraphe, on suppose que ˜
G est à torsion intérieure avec ω = 1 et G
quasidéployé. On définit une version stable des caractères pondérés globaux. On
fixe encore ˜
M , c
V et π V comme dans le paragraphe précédent. Pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
et pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), on considère encore la décomposition λ = λ ˜
L + λ
˜
L . Fixons
˜
L ∈ L( ˜
M ). On a défini en X.4.1 les fonctions méromorphes de λ, s
˜
G
˜
M
(c
V
λ ) que
l’on considère pour ˜
G remplacé par ˜
L, ce sont donc des fonctions s
˜
L
˜
M
(c
V
λ ) qui ne
dépendent que de λ
˜
L . Et on pose, avec les notations précédentes
(2)
(SI)
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f)
=
˜
L∈L( ˜
M)
iA ∗
˜
M
/iA ∗
˜
L
dλ
˜
L s
˜
L
˜
M
(c
V
λ
˜
L )(SI)
˜
G
˜
L
(ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), 0, 0, f V ).
Il est clair d’après X.4.7 qu’une telle distribution est stable.
1201
de λ dans A
∗ ˜
L
˜
M,C
. Comme on l’a dit en X.4.1, les représentations paramétrées par
c v pour tout v /
∈ V sont unitaires. La fonction méromorphe ainsi définie est donc
holomorphe en tout λ tel que λ
˜
L est imaginaire.
On fixe λ ∈ A
∗
˜
M,C
; pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), on décompose λ = λ
˜
L + λ ˜
L suivant la décomposition orthogonale A
∗
˜
M,C
= A
∗
˜
L,C
⊕ A
∗ ˜
L
˜
M,C
. Dans les paragraphes précédents,
pour toute ω représentation π V de ˜
G(F V ), on a défini la distribution
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) → I
˜
G
˜
L
ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), λ ˜
L , X ˜
L , f V
,
où X ˜
L ∈ A ˜
L . Cette distribution n’est pas partout définie, elle est localement
constante en λ ˜
L (là où elle est définie) et elle dépend méromorphiquement de λ
˜
L :
cela résulte des formules de descente. Si π V est unitaire la distribution est définie
pour λ imaginaire. On peut donc la calculer en λ ˜
L = 0.
On suppose que π V est unitaire et on revient à c
V qui est aussi unitaire ;
pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
on définit r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ). Cette fonction méromorphe de λ ne dépend
que de λ
˜
L . On définit alors pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(1)
I
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f)
=
˜
L∈L( ˜
M)
iA ∗
˜
M
/iA ∗
˜
L
dλ
˜
L r
˜
L
˜
M
(c
V
λ )I
˜
G
˜
L
ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), 0, 0, f V
.
Cette intégrale converge grâce à X.4.1. C’est le caractère pondéré global.
Caractères pondérés globaux stables (cas de la torsion intérieure)
Dans ce paragraphe, on suppose que ˜
G est à torsion intérieure avec ω = 1 et G
quasidéployé. On définit une version stable des caractères pondérés globaux. On
fixe encore ˜
M , c
V et π V comme dans le paragraphe précédent. Pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
et pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), on considère encore la décomposition λ = λ ˜
L + λ
˜
L . Fixons
˜
L ∈ L( ˜
M ). On a défini en X.4.1 les fonctions méromorphes de λ, s
˜
G
˜
M
(c
V
λ ) que
l’on considère pour ˜
G remplacé par ˜
L, ce sont donc des fonctions s
˜
L
˜
M
(c
V
λ ) qui ne
dépendent que de λ
˜
L . Et on pose, avec les notations précédentes
(2)
(SI)
˜
G
˜
M
(π V ⊗ c
V , f)
=
˜
L∈L( ˜
M)
iA ∗
˜
M
/iA ∗
˜
L
dλ
˜
L s
˜
L
˜
M
(c
V
λ
˜
L )(SI)
˜
G
˜
L
(ind
˜
L
˜
M
(π V ⊗ λ
˜
L ), 0, 0, f V ).
Il est clair d’après X.4.7 qu’une telle distribution est stable.