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Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie,
théorème de transfert
Dans ce paragraphe on fait l’hypothèse de récurrence géométrique de X.3.2. On
fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique elliptique relevante
de ˜
M . On fixe une représentation π
V , stable, de M
dont on note π V le transfert en
une ω-représentation de ˜
M . On suppose que ces représentations ont un caractère
central.
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes et en supposant que le
caractère central de π
V est unitaire, on a l’égalité des distributions pour tout λ
très voisin de 0 où ces distributions sont définies
∀f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω),
I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V ) = I
˜
G,E
M (π
V , λ, X, f V ).
On se ramène aisément au cas où π V est un produit tensoriel. On compare
les définitions de X.4.6 et X.4.7 (2). Il suffit donc de montrer avec les notations de
ces références que pour tout ˜
L
v
∈ L( ˜
M v ), on a l’égalité
∀f ∈ I( ˜
G(F v )) I
˜
L
v ,E
M
v
(π
v , λ, X v , f v ) = I
˜
L
v
˜
Mv
(π v , λ, X v , f v ).
Ceci a été montré en X.4.5 (ii) parce que l’on a supposé que π
V a un caractère
central unitaire, pour tout λ dans un voisinage de 0 comme dans l’énoncé.
Remarque. Les fonctions, en λ, de l’énoncé sont localement constantes. Si l’une
est définie en λ = 0 l’autre l’est aussi au moins par continuité. Donc avec la seule
hypothèse que soit π
V soit π V est somme de représentations unitaires, on aura
une égalité de distributions en λ = 0. On supprime alors λ de la notation.
Une difficulté mineure de cette théorie est que l’on ne sait pas que le transfert
préserve l’unitarité, il n’y a même sans doute pas de raison que ce soit vrai, d’où
l’intérêt de la remarque.
X.4.9 Caractères pondérés globaux
Définition des caractères pondérés globaux
On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un ensemble fini de places V contenant
V ram . Pour tout v /
∈ V , on fixe un morphisme c v : W Fv →
L M (F v ) (en notant
ainsi le L-groupe de M vu sur F v ). On pose c
V = (c v ) v ∈V et on suppose que c
V
est quasi-automorphe, cf. X.4.1.
On a défini en X.4.1 la fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
, r
˜
G
˜
M
(c
V
λ ) ; cette
fonction est invariante sous A
∗
˜
G,C
. On généralise cette définition en remplaçant ˜
G
par un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ). Et la fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
, notée
r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ), est invariante sous A
∗
˜
L,C
et elle ne dépend donc que de la projection λ
˜
L
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie,
théorème de transfert
Dans ce paragraphe on fait l’hypothèse de récurrence géométrique de X.3.2. On
fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique elliptique relevante
de ˜
M . On fixe une représentation π
V , stable, de M
dont on note π V le transfert en
une ω-représentation de ˜
M . On suppose que ces représentations ont un caractère
central.
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes et en supposant que le
caractère central de π
V est unitaire, on a l’égalité des distributions pour tout λ
très voisin de 0 où ces distributions sont définies
∀f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω),
I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V ) = I
˜
G,E
M (π
V , λ, X, f V ).
On se ramène aisément au cas où π V est un produit tensoriel. On compare
les définitions de X.4.6 et X.4.7 (2). Il suffit donc de montrer avec les notations de
ces références que pour tout ˜
L
v
∈ L( ˜
M v ), on a l’égalité
∀f ∈ I( ˜
G(F v )) I
˜
L
v ,E
M
v
(π
v , λ, X v , f v ) = I
˜
L
v
˜
Mv
(π v , λ, X v , f v ).
Ceci a été montré en X.4.5 (ii) parce que l’on a supposé que π
V a un caractère
central unitaire, pour tout λ dans un voisinage de 0 comme dans l’énoncé.
Remarque. Les fonctions, en λ, de l’énoncé sont localement constantes. Si l’une
est définie en λ = 0 l’autre l’est aussi au moins par continuité. Donc avec la seule
hypothèse que soit π
V soit π V est somme de représentations unitaires, on aura
une égalité de distributions en λ = 0. On supprime alors λ de la notation.
Une difficulté mineure de cette théorie est que l’on ne sait pas que le transfert
préserve l’unitarité, il n’y a même sans doute pas de raison que ce soit vrai, d’où
l’intérêt de la remarque.
X.4.9 Caractères pondérés globaux
Définition des caractères pondérés globaux
On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un ensemble fini de places V contenant
V ram . Pour tout v /
∈ V , on fixe un morphisme c v : W Fv →
L M (F v ) (en notant
ainsi le L-groupe de M vu sur F v ). On pose c
V = (c v ) v ∈V et on suppose que c
V
est quasi-automorphe, cf. X.4.1.
On a défini en X.4.1 la fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
, r
˜
G
˜
M
(c
V
λ ) ; cette
fonction est invariante sous A
∗
˜
G,C
. On généralise cette définition en remplaçant ˜
G
par un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ). Et la fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
, notée
r
˜
L
˜
M
(c
V
λ ), est invariante sous A
∗
˜
L,C
et elle ne dépend donc que de la projection λ
˜
L