X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
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représentations stables en toute place v ∈ V . Dans ˆ
G, on note ˆ
M le sous-groupe
de Levi tel que Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 ; plus précisément ˆ
M est la composante
neutre du centralisateur dans ˆ
G de Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 . On pose alors pour toute fonction
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) produit de ses composantes locales :
I
˜
G,E
M (π
V , λ, X, f V )
:=
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))(SI)
G
(ˆ s)
M (π
V , λ, X, f
G
(ˆ s)
V
).
Les facteurs de transfert sont normalisés globalement. Dans le cas où M
est une
donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on a la décomposition,
sous l’hypothèse que π
V est un produit tensoriel :
(2)
I
˜
G,E
M (π
V , λ, X, f V ) =
{ ˜
L v }∈L( ˜
MV )
d ˜
MV ( ˜
M , { ˜
L
v
})
{Xv ∈A ˜
Mv ;
v X v, ˜
M =X}
v∈V
I
˜
L
v ,E
M
v
(π
v , λ, X v , f v; ˜
Lv )dX v .
On renvoie au (i) de la proposition de [VI] 4.5 pour la preuve de cette formule,
c’est juste un calcul de coefficients.
Lemme. Avec les notations précédentes, on suppose qu’en toute place v ∈ V la représentation π
v est une induite de la forme ind
M
v
R (v) σ v avec σ v une représentation
stable et elliptique modulo le centre de R
(v) où R
(v) est un espace de Levi de
M
v . On suppose aussi que pour au moins une place v, R
(v) n’est pas une donnée
endoscopique relevante de ˜
G(F v ), alors
I
˜
G,E
M (π
V , λ, X, f V ) = 0
On a utilisé l’écriture R
(v) pour signifier que R
(v) est un espace de Levi
de M
v qui ne provient pas forcément par localisation d’une donnée globale.
C’est bien l’analogue géométrique de cet énoncé qui est démontré en 6.10,
(31) de [VI] mais comme ce n’est pas exactement l’hypothèse faite en [VI] 6.1 et
suivant on commence par s’y ramener. On commence donc par supposer que M
est une donnée endoscopique relevante de ˜
G. Et on montre la nullité : on considère
(2) et on fixe v tel que R
(v) ne soit pas une donnée endoscopique relevante de
˜
G(F v ). On a alors montré en X.4.4 (ii) que les termes I
˜
L
v ,E
M
v
(π
v , λ, X v , f v, ˜
Lv ) sont
tous nuls. D’où l’assertion dans ce cas.
Maintenant on a exactement l’hypothèse que M
n’est pas une donnée endoscopique relevante de ˜
G comme dans 6.6 de [VI] et la même preuve s’applique
avec beaucoup moins (voire pas du tout) de difficultés aux places archimédiennes.