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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ensuite, on passe aux termes en I au lieu de J par un calcul standard utilisant
les formules de descente. On ne le fait pas.
On revient à l’ensemble V ; on ramène la définition (1) à une définition locale,
par récurrence sur le nombre de places dans V ; pour simplifier on suppose que π V
est un produit tensoriel, ⊗ v∈V π v ; on se ramène à ce cas en faisant des combinaisons
linéaires.
Pour cela on définit aussi L( ˜
M V ) comme l’ensemble des familles ˜
L
V =
( ˜
L
v ; v ∈ V ) où pour tout v ∈ V , ˜
L
v
∈ L( ˜
M (F v )) et on a les formules de
scindage qui relient cette définition aux définitions locales : pour toute fonction
f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) produit de ses composantes locales :
I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V )
=
{ ˜
L v }∈L( ˜
MV )
d ˜
M ( ˜
G, { ˜
L
v
})
𚵿
{Xv ∈A ˜
Mv ;
v X v, ˜
M =X}
v∈V
I
˜
L
v
˜
Mv
(π v , λ, X v , f v; ˜
Lv )dX v .
X.4.7 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie,
théorème d’annulation
On définit les variantes stables et endoscopiques de caractères pondérés semiglobaux.
On suppose d’abord que ω = 1 que G est quasi-déployé et que ˜
G est à
torsion intérieure. On pose, pour toute fonction f V ∈ I( ˜
G(F V )) produit de ses
composantes locales :
(1)
SI
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V ) =
{ ˜
L v }∈L( ˜
MV )
e ˜
MV ( ˜
M , { ˜
L
v
})
{Xv ∈A ˜
Mv ;
v X v, ˜
M =X}
v∈V
SI
˜
L
v
˜
Mv
(π v , λ, X v , f v; ˜
Lv )dX v .
Avec une telle définition, la distribution est certainement stable parce que c’est le
cas des distributions locales. Et cela est conforme à la définition usuelle (cf. [VI]
(i) de la proposition 4.2)
SI
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V )
= I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f V ) −
s∈Z( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
SI
˜
G
(s)
˜
M
(π V , λ, X, f
G
(s)
V
).
On ne fait plus d’hypothèse sur ˜
G ; soit M
une donnée endoscopique non
nécessairement elliptique ni même relevante de ˜
G. On fixe une représentation π
V ,
stable, de M
sur F V ) ; c’est nécessairement par définition de la stabilité, une
combinaison linéaire de représentations stables elles mêmes produit tensoriel de