X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1197
X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux
Ici le corps de base est global, c’est-à-dire un corps de nombres. On fixe V un
ensemble fini de places de F contenant au moins une place archimédienne. On fixe
˜
M un espace de Levi de ˜
G et π V une ω-représentation de ˜
M (F V ). On note L( ˜
M )
l’ensemble des sous-espaces de Levi de ˜
G contenant ˜
M . Ceci est un objet global.
On définit une application :
φ
˜
G
˜
M,V
: I( ˜
G(F V ), ω) → I ac ( ˜
M (F V ), ω)
comme en [VI] 1.6 et 1.7. ce qui permet de définir un caractère pondéré invariant
semi-global :
∀f ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(1)
I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) := J
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) −
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(π V , λ, X, φ
˜
G
˜
L,V
(f )).
Dans la définition de J
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) il y a une intégrale sur λ + iA
∗
˜
M
qui est un
espace affine car on a supposé que V contient au moins une place archimédienne.
On peut remplacer l’hypothèse que V contient au moins une place archimédienne par l’hypothèse que V ne contient que des places ayant même caractéristique résiduelle ; on intègre alors sur un tore si ces places sont p-adiques. On peut
donc définir de façon semi-globale I
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ) pour toute place v en considérant que V = {v}. Montrons que cette définition s’exprime en fonction de la
définition locale des paragraphes précédents ainsi :
(2)
I
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v )
=
˜
L(v)∈L( ˜
Mv )
d ˜
Mv ( ˜
M , ˜
L(v))
Y ∈A ˜
Mv ;Y ˜
M =X
dY I
˜
L(v)
˜
Mv
(π v , λ, X, f v, ˜
L(v) ),
où Y ˜
M est la projection orthogonale de Y ∈ A ˜
Mv dans A ˜
M .
En effet, pour prouver une telle formule, il faut d’abord la prouver pour
J
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ). Cette distribution s’obtient par transformation de Fourier à partir de la distribution J
˜
G
˜
M
(π v,λ , f v ). Par les propriétés de ˜
G, ˜
M famille, on a l’égalité
de fonctions méromorphes en λ ∈ A
∗
˜
M
:
J
˜
G
˜
M
(π v,λ , f v ) =
˜
L(v)∈L( ˜
Mv )
d ˜
Mv ( ˜
M , ˜
L(v))J
˜
L(v)
˜
Mv
(π v,λ , f v, ˜
L(v) ).
Le terme de gauche doit être intégré sur λ + iA
∗
˜
M
contre e
−λ(X) pour trouver
J
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ). Du côté droit, il faut intégrer sur λ + iA
∗
˜
Mv
contre e
−λ(X) pour
trouver J
˜
L(v)
˜
Mv
(π v , λ, X, f v, ˜
L(v) ). On passe de l’une des intégrales à l’autre en faisant
précisément une transformée de Fourier sur A ˜
Mv /A ˜
M . D’où le résultat annoncé.
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X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux
Ici le corps de base est global, c’est-à-dire un corps de nombres. On fixe V un
ensemble fini de places de F contenant au moins une place archimédienne. On fixe
˜
M un espace de Levi de ˜
G et π V une ω-représentation de ˜
M (F V ). On note L( ˜
M )
l’ensemble des sous-espaces de Levi de ˜
G contenant ˜
M . Ceci est un objet global.
On définit une application :
φ
˜
G
˜
M,V
: I( ˜
G(F V ), ω) → I ac ( ˜
M (F V ), ω)
comme en [VI] 1.6 et 1.7. ce qui permet de définir un caractère pondéré invariant
semi-global :
∀f ∈ I( ˜
G(F V ), ω)
(1)
I
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) := J
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) −
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(π V , λ, X, φ
˜
G
˜
L,V
(f )).
Dans la définition de J
˜
G
˜
M
(π V , λ, X, f) il y a une intégrale sur λ + iA
∗
˜
M
qui est un
espace affine car on a supposé que V contient au moins une place archimédienne.
On peut remplacer l’hypothèse que V contient au moins une place archimédienne par l’hypothèse que V ne contient que des places ayant même caractéristique résiduelle ; on intègre alors sur un tore si ces places sont p-adiques. On peut
donc définir de façon semi-globale I
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ) pour toute place v en considérant que V = {v}. Montrons que cette définition s’exprime en fonction de la
définition locale des paragraphes précédents ainsi :
(2)
I
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v )
=
˜
L(v)∈L( ˜
Mv )
d ˜
Mv ( ˜
M , ˜
L(v))
Y ∈A ˜
Mv ;Y ˜
M =X
dY I
˜
L(v)
˜
Mv
(π v , λ, X, f v, ˜
L(v) ),
où Y ˜
M est la projection orthogonale de Y ∈ A ˜
Mv dans A ˜
M .
En effet, pour prouver une telle formule, il faut d’abord la prouver pour
J
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ). Cette distribution s’obtient par transformation de Fourier à partir de la distribution J
˜
G
˜
M
(π v,λ , f v ). Par les propriétés de ˜
G, ˜
M famille, on a l’égalité
de fonctions méromorphes en λ ∈ A
∗
˜
M
:
J
˜
G
˜
M
(π v,λ , f v ) =
˜
L(v)∈L( ˜
Mv )
d ˜
Mv ( ˜
M , ˜
L(v))J
˜
L(v)
˜
Mv
(π v,λ , f v, ˜
L(v) ).
Le terme de gauche doit être intégré sur λ + iA
∗
˜
M
contre e
−λ(X) pour trouver
J
˜
G
˜
M
(π v , λ, X, f v ). Du côté droit, il faut intégrer sur λ + iA
∗
˜
Mv
contre e
−λ(X) pour
trouver J
˜
L(v)
˜
Mv
(π v , λ, X, f v, ˜
L(v) ). On passe de l’une des intégrales à l’autre en faisant
précisément une transformée de Fourier sur A ˜
Mv /A ˜
M . D’où le résultat annoncé.