1196
Chapitre X. Stabilisation spectrale
(i) L’hypothèse de (i) assure que
c θ
˜
G,E
M (f ) = (
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
M
et donc dans le
lemme de X.4.4, on a simplement l’égalité
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
M (π
M , λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
On rappelle aussi la formule :
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
Ainsi le lemme est équivalent à l’égalité
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).
On doit donc montrer l’égalité des fonctions méromorphes en λ :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G Γ F , ˆ
θ )
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
c (SI)
G
(ˆ s)
M (π
M ,λ , f
G
(s) ) =
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f).
(1)
On se ramène par les formules de descente au cas où π
M et donc π sont tempérées ;
on a alors le droit de supposer que λ est unitaire par méromorphie et on sait alors
que le membre de gauche vaut :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s)) tr π
M ,λ (
c (Sθ)
G
(ˆ s)
M (f
G
(ˆ s) ))
ce qui vaut aussi par définition tr π
M ,λ (
c θ
˜
G,E
M (f )). Et avec l’hypothèse faite cela
vaut tr π
M ,λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )
M
). Par définition du transfert de π
M cela n’est autre que
tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )). Ce qui est le membre de droite de (1). Cela termine la preuve de (i)
(ii) On décompose π
M dans son groupe de Grothendieck (complexifié) ; le
caractère central de π
M est unitaire par hypothèse et cela force π
M d’être la
somme d’une représentation tempérée avec des induites propres. Pour les représentations tempérées les caractères pondérés invariants sont nuls et l’égalité cherchée
est triviale ; il reste le cas des induites propres, en acceptant que λ soit dans un
voisinage de 0 puisqu’il peut y avoir un problème de définition en certains points
de l’axe imaginaire. Les formules de descente ramènent à démontrer l’assertion
cherchée pour ˜
G remplacé par des espaces de Levi propres ; pour les espaces de
Levi propres l’hypothèse faite en (i) est vérifiée et on a donc le résultat cherché.
Remarque. Dans (ii) si on suppose π
M unitaire, alors
I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) = I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
pour tout λ imaginaire.
Cela vient du fait que les distributions sont alors définies en tout λ unitaire
et sont localement constantes en λ.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
(i) L’hypothèse de (i) assure que
c θ
˜
G,E
M (f ) = (
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
M
et donc dans le
lemme de X.4.4, on a simplement l’égalité
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
M (π
M , λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
On rappelle aussi la formule :
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
Ainsi le lemme est équivalent à l’égalité
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).
On doit donc montrer l’égalité des fonctions méromorphes en λ :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G Γ F , ˆ
θ )
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
c (SI)
G
(ˆ s)
M (π
M ,λ , f
G
(s) ) =
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f).
(1)
On se ramène par les formules de descente au cas où π
M et donc π sont tempérées ;
on a alors le droit de supposer que λ est unitaire par méromorphie et on sait alors
que le membre de gauche vaut :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s)) tr π
M ,λ (
c (Sθ)
G
(ˆ s)
M (f
G
(ˆ s) ))
ce qui vaut aussi par définition tr π
M ,λ (
c θ
˜
G,E
M (f )). Et avec l’hypothèse faite cela
vaut tr π
M ,λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )
M
). Par définition du transfert de π
M cela n’est autre que
tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )). Ce qui est le membre de droite de (1). Cela termine la preuve de (i)
(ii) On décompose π
M dans son groupe de Grothendieck (complexifié) ; le
caractère central de π
M est unitaire par hypothèse et cela force π
M d’être la
somme d’une représentation tempérée avec des induites propres. Pour les représentations tempérées les caractères pondérés invariants sont nuls et l’égalité cherchée
est triviale ; il reste le cas des induites propres, en acceptant que λ soit dans un
voisinage de 0 puisqu’il peut y avoir un problème de définition en certains points
de l’axe imaginaire. Les formules de descente ramènent à démontrer l’assertion
cherchée pour ˜
G remplacé par des espaces de Levi propres ; pour les espaces de
Levi propres l’hypothèse faite en (i) est vérifiée et on a donc le résultat cherché.
Remarque. Dans (ii) si on suppose π
M unitaire, alors
I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) = I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
pour tout λ imaginaire.
Cela vient du fait que les distributions sont alors définies en tout λ unitaire
et sont localement constantes en λ.