X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1195
Pour (ii) on se raccroche évidemment à 1.14 de [II] qui construit un sousgroupe Z du noyau de l’application (1) tel que l’analogue géométrique de
(2)
z∈Z
SI
L
(ˆ s
z)
R
(σ
, λ, Y, (f
G
(ˆ s
z) ) L )
soit nul. C’est un subtil problème de facteurs de transfert qui nécessite l’introduction des données auxiliaires mais qui n’est pas à refaire puisqu’il a déjà été fait.
Introduisons des données auxiliaires M
1 , C 1 , etc. . . pour la donnée M
, qui se restreignent en des données R
1 , C 1 , etc. . . Ce que montre ce qui suit (10) de [II] 1.14,
est que l’introduction de z ∈ Z induit un automorphisme de C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 ) et donne
donc dualement un automorphisme sur l’ensemble des représentations de ˜
R
1 dont
le caractère central se restreint en le caractère λ 1 de C 1 (F ). C’est l’ensemble de
ce qu’on a appelé les représentations de R
. Ainsi (2) est en fait une somme sur
un ensemble de représentations σ
(z) dépendant de z ∈ Z. L’automorphisme de
C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 ) est la multiplication par une fonction sur ˜
R
. Cette fonction est calculée
en [II] 1.14 près des éléments elliptiques. D’où l’intérêt pour nous de se ramener au
cas où σ
est elliptique ; c’est tout à fait loisible quitte à remplacer ˜
R
par un de ses
sous-groupes de Levi qui ne sera pas plus relevant et on ne perd pas l’hypothèse
de stabilité grâce à la section 2 de [XI] et [IV] 2.8. L’automorphisme se lit alors
sur l’ensemble des fonctions cuspidales dont le support est formé d’éléments elliptiques et il est montré en [II] 1.14 qu’en sommant sur z, on obtient 0. Dualement
on a donc aussi 0 pour σ
elliptique et c’est ce qui était cherché.
X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale
Ici on démontre que la stabilisation locale géométrique entraîne la stabilisation
locale spectrale. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
M . On fixe aussi une représentation stable π
M de M
et on note π
la ω-représentation de ˜
M que l’on obtient par transfert.
Corollaire.
(i) Sous les deux premières hypothèses de 3.5 (avec ˜
M fixé comme en 3.5) et
sous l’hypothèse que pour toutes les intégrales orbitales pondérées de la forme
I
˜
G
˜
L
et I
˜
G,E
˜
L
sont égales, pour ˜
L ∈ L( ˜
M ) y compris ˜
L = ˜
M , alors on a la
stabilisation des caractères pondérés :
I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) = I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).
(ii) On ne suppose que l’hypothèse de stabilisation géométrique pour ˜
G remplacé
par ses espaces de Levi propres. Alors la conclusion est vraie pour les représentations π
M de caractère central unitaire et pour λ dans un petit voisinage
de l’axe imaginaire.
Le (ii) est un point clé de la stabilisation et résulte d’une astuce (cf. la preuve)
remarquée par J. Arthur.
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Pour (ii) on se raccroche évidemment à 1.14 de [II] qui construit un sousgroupe Z du noyau de l’application (1) tel que l’analogue géométrique de
(2)
z∈Z
SI
L
(ˆ s
z)
R
(σ
, λ, Y, (f
G
(ˆ s
z) ) L )
soit nul. C’est un subtil problème de facteurs de transfert qui nécessite l’introduction des données auxiliaires mais qui n’est pas à refaire puisqu’il a déjà été fait.
Introduisons des données auxiliaires M
1 , C 1 , etc. . . pour la donnée M
, qui se restreignent en des données R
1 , C 1 , etc. . . Ce que montre ce qui suit (10) de [II] 1.14,
est que l’introduction de z ∈ Z induit un automorphisme de C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 ) et donne
donc dualement un automorphisme sur l’ensemble des représentations de ˜
R
1 dont
le caractère central se restreint en le caractère λ 1 de C 1 (F ). C’est l’ensemble de
ce qu’on a appelé les représentations de R
. Ainsi (2) est en fait une somme sur
un ensemble de représentations σ
(z) dépendant de z ∈ Z. L’automorphisme de
C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 ) est la multiplication par une fonction sur ˜
R
. Cette fonction est calculée
en [II] 1.14 près des éléments elliptiques. D’où l’intérêt pour nous de se ramener au
cas où σ
est elliptique ; c’est tout à fait loisible quitte à remplacer ˜
R
par un de ses
sous-groupes de Levi qui ne sera pas plus relevant et on ne perd pas l’hypothèse
de stabilité grâce à la section 2 de [XI] et [IV] 2.8. L’automorphisme se lit alors
sur l’ensemble des fonctions cuspidales dont le support est formé d’éléments elliptiques et il est montré en [II] 1.14 qu’en sommant sur z, on obtient 0. Dualement
on a donc aussi 0 pour σ
elliptique et c’est ce qui était cherché.
X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale
Ici on démontre que la stabilisation locale géométrique entraîne la stabilisation
locale spectrale. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
M . On fixe aussi une représentation stable π
M de M
et on note π
la ω-représentation de ˜
M que l’on obtient par transfert.
Corollaire.
(i) Sous les deux premières hypothèses de 3.5 (avec ˜
M fixé comme en 3.5) et
sous l’hypothèse que pour toutes les intégrales orbitales pondérées de la forme
I
˜
G
˜
L
et I
˜
G,E
˜
L
sont égales, pour ˜
L ∈ L( ˜
M ) y compris ˜
L = ˜
M , alors on a la
stabilisation des caractères pondérés :
I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) = I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).
(ii) On ne suppose que l’hypothèse de stabilisation géométrique pour ˜
G remplacé
par ses espaces de Levi propres. Alors la conclusion est vraie pour les représentations π
M de caractère central unitaire et pour λ dans un petit voisinage
de l’axe imaginaire.
Le (ii) est un point clé de la stabilisation et résulte d’une astuce (cf. la preuve)
remarquée par J. Arthur.